Signe et resolution d'equations avec une fonction affine

Resoudre f(x) = 0

Pour une fonction affine f(x) = a*x + b avec a different de 0, l'equation f(x) = 0 a toujours exactement une solution, appelee le zero (ou racine) de f :

a*x + b = 0 -> x = -b/a

Exemple : pour f(x) = 2x - 6, on resout 2x - 6 = 0, donc 2*x = 6, donc x = 3. Le zero de f est 3.

Etudier le signe de f(x)

Le signe de a*x + b depend du signe de a et de la position de x par rapport au zero -b/a.

x	-infini ........ -b/a ........ +infini
si a > 0	f(x) negative puis positive
si a < 0	f(x) positive puis negative

Exemple : f(x) = -3*x + 9. Le zero est x = 9/-(-3) = 3. Comme a = -3 < 0, f(x) est positive pour x <= 3 et negative pour x >= 3.

Comparer deux fonctions affines

Pour resoudre f(x) = g(x) ou comparer f(x) et g(x), on ramene tout d'un cote : c'est encore une equation ou inequation du premier degre.

Exemple : resoudre 2x + 1 >= -x + 7 revient a 3x >= 6, donc x >= 2.

Piege classique

Quand on multiplie ou divise une inegalite par un nombre negatif (comme a < 0), il faut inverser le sens de l'inegalite. Oublier ce changement de sens est l'erreur la plus frequente dans ce type d'exercice.