Qu'est-ce qu'un espace vectoriel ?

Un espace vectoriel est un ensemble dont on peut additionner les éléments et les multiplier par un nombre, sans jamais sortir de l'ensemble. Cette définition volontairement pauvre est ce qui fait sa force : une fois qu'on l'a vérifiée quelque part, tous les théorèmes d'algèbre linéaire s'y appliquent.

Deux opérations, une seule exigence

Dans un espace vectoriel E, on dispose de :

l'addition           u + v      (deux vecteurs -> un vecteur)
la multiplication    λ · u      (un nombre et un vecteur -> un vecteur)
   par un scalaire

La seule chose qui compte vraiment tient en une phrase : toute combinaison λu + μv reste dans E. On dit que E est stable par combinaison linéaire. Il en découle immédiatement que E contient le vecteur nul 0 (prendre λ = μ = 0) et l'opposé de chacun de ses éléments.

La liste officielle comporte huit axiomes (associativité, commutativité, distributivités, neutre, opposé…), mais en pratique ils ne posent jamais problème : ce sont les règles de calcul habituelles. C'est la stabilité qu'on vérifie.

Le modèle : les vecteurs du plan

                 v
                 ^
                /|
               / |          u + v
              /  |         /
             /   |       /
            O----+----->/-------> u

  u + v : règle du parallélogramme
  2u    : même direction, longueur doublée
  -u    : même direction, sens opposé

R² (les couples de nombres) et R³ (les triplets) sont les exemples de référence. Plus généralement R^n, l'ensemble des listes de n nombres, est un espace vectoriel.

Le vrai intérêt : des « vecteurs » qui n'en ont pas l'air

Voici pourquoi la définition est faite ainsi. Ces ensembles sont tous des espaces vectoriels :

Ensemble                          Un « vecteur » y est...
--------------------------------  ---------------------------------
R^n                               une liste de n nombres
les polynômes de degré ≤ 3        3x² - x + 5
les fonctions de R dans R         sin, exp, x -> x² + 1
les matrices 2 × 3                un tableau de 6 nombres
les suites réelles                (1 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/8 ; ...)
les solutions de y'' + y = 0      une fonction, ici a·cos + b·sin

Vérifions sur les polynômes : la somme de deux polynômes de degré au plus 3 est encore de degré au plus 3, et le produit par un nombre aussi. C'est stable, donc c'est un espace vectoriel. On peut alors parler de la dimension de cet ensemble, d'une base, du rang d'une application — tout le vocabulaire devient disponible.

C'est le mouvement typique des mathématiques : on isole la propriété minimale (ici, la stabilité), et tout ce qu'on démontre à partir d'elle vaut d'un coup dans des dizaines de contextes différents.

Un contre-exemple pour fixer les idées

L'ensemble des polynômes de degré exactement 2 n'est pas un espace vectoriel :

(x² + x) + (-x² + 1) = x + 1        degré 1, sorti de l'ensemble !

De même, l'ensemble des vecteurs de R² à coordonnées positives n'en est pas un : multiplier par -1 en fait sortir.

En résumé

• Un espace vectoriel est stable par addition et par multiplication par un scalaire.
• En un mot : toute combinaison linéaire λu + μv reste dans l'ensemble.
• Il contient toujours le vecteur nul.
• Exemples : R^n, les polynômes, les fonctions, les matrices, les suites, les solutions d'une équation différentielle linéaire.
• L'intérêt : un seul corpus de théorèmes s'applique à tous ces objets à la fois.