Bases et dimension

Une famille à la fois libre et génératrice s'appelle une base. C'est l'objet le plus utile de tout le cours : il donne à chaque vecteur des coordonnées, et à chaque espace un nombre — sa dimension.

Définition et propriété fondamentale

BASE = famille LIBRE (rien de superflu) + GÉNÉRATRICE (rien ne manque)

L'intérêt tient dans ce théorème : si (e1, …, en) est une base de E, alors tout vecteur v de E s'écrit

v = x1·e1 + x2·e2 + ... + xn·en

d'une seule et unique façon. Les nombres (x1, …, xn) sont les coordonnées de v dans cette base.

L'unicité vient de la liberté, l'existence vient du caractère générateur. C'est ce qui permet de remplacer un vecteur abstrait (un polynôme, une fonction, une matrice) par une simple liste de nombres, donc de le confier à un ordinateur.

La base canonique

Chaque espace usuel possède une base « évidente » :

R³ :          e1 = (1;0;0)   e2 = (0;1;0)   e3 = (0;0;1)
polynômes
de degré ≤ 3 :  1  ,  X  ,  X²  ,  X³
matrices 2×2 : les quatre matrices ayant un seul 1

Dans R³, écrire v = (3 ; -1 ; 2) c'est déjà donner ses coordonnées dans la base canonique : 3e1 - e2 + 2e3.

La dimension

Toutes les bases d'un même espace ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est la dimension de l'espace.

Espace                          Base usuelle              Dimension
------------------------------  ------------------------  ---------
R^n                             e1, ..., en                   n
polynômes de degré ≤ 3          1, X, X², X³                  4
matrices 2 × 3                  les 6 matrices élémentaires   6
{0}                             (aucune)                      0
les fonctions de R dans R       —                          infinie

Attention au décalage classique : les polynômes de degré ≤ n forment un espace de dimension n + 1, à cause du terme constant.

Compter suffit

Voilà le résultat qui économise le plus de travail. Dans un espace de dimension n :

n vecteurs LIBRES        ->  c'est une base (inutile de vérifier le reste)
n vecteurs GÉNÉRATEURS   ->  c'est une base
moins de n vecteurs      ->  jamais générateurs
plus de n vecteurs       ->  toujours liés

Autrement dit, avec le bon nombre de vecteurs, une seule des deux propriétés suffit. En pratique on vérifie la liberté, souvent plus rapide.

Le rang d'une famille

Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension de l'espace qu'elle engendre :

rang(u1, ..., up) = dim Vect(u1, ..., up)

rang = p         ->  la famille est libre
rang < p         ->  la famille est liée, p - rang vecteurs sont superflus

Reprenons u = (1;2;0), v = (0;1;1), w = (2;5;1) avec w = 2u + v : la famille a trois vecteurs mais un rang de 2. Elle engendre un plan, pas R³.

Théorème de la base incomplète

Toute famille libre peut être complétée en une base, et de toute famille génératrice on peut extraire une base. Ces deux résultats garantissent qu'on peut toujours se ramener au bon nombre de vecteurs : ni trop, ni trop peu.

En résumé

• Une base est une famille libre et génératrice.
• Dans une base, tout vecteur a des coordonnées uniques.
• La dimension est le nombre de vecteurs d'une base — le même pour toutes.
• dim R^n = n ; les polynômes de degré ≤ n sont de dimension n + 1.
• Avec exactement n vecteurs en dimension n, libre ⟺ génératrice ⟺ base.
• Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre.