Familles libres et familles génératrices

Pour décrire un sous-espace, on cherche le plus petit jeu de vecteurs qui suffise à le fabriquer. Deux qualités s'opposent : en avoir assez (famille génératrice) et n'en avoir pas trop (famille libre).

Famille génératrice : en avoir assez

Une famille (u1, …, up) est génératrice de F si tout vecteur de F s'écrit comme combinaison linéaire de ces vecteurs :

tout v de F s'écrit   v = λ1·u1 + λ2·u2 + ... + λp·up

Autrement dit F = Vect(u1, …, up) : rien ne manque, les vecteurs couvrent tout l'espace visé.

Famille libre : n'en avoir pas trop

Une famille est libre (on dit aussi linéairement indépendante) si aucun de ses vecteurs n'est superflu. Le critère officiel :

λ1·u1 + λ2·u2 + ... + λp·up = 0     entraîne     λ1 = λ2 = ... = λp = 0

Seule la combinaison triviale donne le vecteur nul. Dans le cas contraire, la famille est liée : l'un des vecteurs s'exprime à partir des autres et n'apporte rien.

LIBRE                              LIÉE
                                                    u3 = u1 + u2
   ^ u2                              ^ u2          /
   |                                 |            /
   |                                 |  u3 ------/
   +-----> u1                        +-----> u1

deux directions distinctes        u3 est déjà dans le plan de u1, u2

Les réflexes qui font gagner du temps

- Une famille contenant le vecteur nul est TOUJOURS liée.
- Deux vecteurs sont liés  <=>  ils sont colinéaires (proportionnels).
- Trois vecteurs de R² sont TOUJOURS liés (trop nombreux pour la dimension).
- Plus généralement : p vecteurs dans un espace de dimension n < p sont liés.

Ce dernier point est fondamental : on ne peut pas avoir plus de vecteurs indépendants que la dimension ne le permet.

Un exemple complet

Les vecteurs u = (1 ; 2 ; 0), v = (0 ; 1 ; 1) et w = (2 ; 5 ; 1) de R³ sont-ils libres ?

On cherche λu + μv + νw = 0. Mais on remarque directement :

2u + v = (2 ; 4 ; 0) + (0 ; 1 ; 1) = (2 ; 5 ; 1) = w

Donc 2u + v - w = 0 avec des coefficients non tous nuls : la famille est liée. Le vecteur w est superflu, et Vect(u, v, w) = Vect(u, v) : trois vecteurs, mais un plan seulement.

En l'absence de relation évidente, la méthode systématique consiste à écrire les vecteurs en colonnes et à faire un pivot de Gauss : la famille est libre si et seulement si le rang vaut le nombre de vecteurs.

Le lien avec les systèmes

Ces deux notions ne sont que la relecture de ce qu'on sait déjà sur A X = B, où les colonnes de A sont les vecteurs de la famille :

famille génératrice  <=>  A X = B a AU MOINS une solution, pour tout B
famille libre        <=>  A X = 0 a AU PLUS une solution (la nulle)

En résumé

• Génératrice : tout vecteur de F s'écrit comme combinaison de la famille — il ne manque rien.
• Libre : seule la combinaison à coefficients tous nuls donne 0 — il n'y a rien de superflu.
• Liée : un vecteur au moins s'exprime à partir des autres.
• Une famille contenant 0, ou comptant plus de vecteurs que la dimension, est liée.
• Méthode générale : mettre les vecteurs en colonnes et calculer le rang par le pivot.