Les sous-espaces vectoriels

La plupart du temps, on ne construit pas un espace vectoriel de zéro : on en isole un morceau à l'intérieur d'un autre. Ce morceau s'appelle un sous-espace vectoriel.

Le critère à appliquer

Une partie F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel (« sev ») si :

1. F contient le vecteur nul        0 ∈ F
2. F est stable par addition        u, v ∈ F  ->  u + v ∈ F
3. F est stable par multiplication  u ∈ F, λ réel  ->  λu ∈ F

Les points 2 et 3 se regroupent en un seul test, celui qu'on utilise en pratique :

   0 ∈ F     et     pour tous u, v ∈ F et tous λ, μ :   λu + μv ∈ F

L'intérêt est considérable : vérifier ces trois points est beaucoup plus rapide que de revérifier les huit axiomes. Un sous-espace vectoriel est automatiquement un espace vectoriel.

Le test du vecteur nul

Il élimine en une seconde une grande partie des candidats. Si 0 n'est pas dedans, ce n'est pas un sous-espace vectoriel :

F = { (x ; y) tels que 2x - y = 0 }     0 = (0;0) vérifie 0 - 0 = 0   ✔ sev
G = { (x ; y) tels que 2x - y = 3 }     0 ne vérifie pas 0 - 0 = 3    ✘ pas sev

Géométriquement, F est une droite passant par l'origine, G une droite parallèle qui ne passe pas par O.

À quoi ressemblent les sous-espaces

Dans R³, la liste est courte et complète :

   {0}              une droite         un plan            R³ entier
                    passant par O      passant par O
    •                    /             ________
                        /  •          /_______/
                       /             (par l'origine)

dimension 0        dimension 1        dimension 2       dimension 3

Tout sous-espace contient l'origine et s'étend indéfiniment dans ses directions. Un segment, un disque, une sphère, une parabole ne sont donc jamais des sous-espaces vectoriels.

Les deux façons d'en fabriquer

Par des équations (description implicite) : l'ensemble des solutions d'un système homogène est toujours un sous-espace vectoriel.

F = { (x;y;z) : x + 2y - z = 0 }        un plan de R³

Par des générateurs (description paramétrique) : on prend des vecteurs et on forme toutes leurs combinaisons. L'ensemble obtenu se note Vect(u, v) et s'appelle le sous-espace engendré.

Vect(u) = toutes les droites λu       -> une droite
Vect(u, v) = { λu + μv }              -> un plan (si u et v ne sont pas colinéaires)

Passer d'une description à l'autre — équations ⟷ générateurs — est exactement le travail du pivot de Gauss.

Intersection et somme

F ∩ G   (intersection)  ->  TOUJOURS un sous-espace vectoriel
F ∪ G   (réunion)       ->  presque jamais
F + G = { u + v }       ->  toujours un sous-espace vectoriel

La réunion de deux droites distinctes du plan n'est pas stable : en additionnant un vecteur de l'une et un vecteur de l'autre, on sort des deux droites. C'est pour la réparer qu'on définit la somme F + G.

En résumé

• Un sous-espace vectoriel contient 0 et est stable par combinaison linéaire.
• Le test du vecteur nul élimine immédiatement les candidats décalés de l'origine.
• Dans R³ : {0}, une droite par O, un plan par O, ou R³ tout entier.
• Les solutions d'un système homogène forment un sous-espace vectoriel.
• Vect(u, v) — l'ensemble des combinaisons — est le sous-espace engendré.
• L'intersection est un sev, la réunion presque jamais.