Déterminant et inversibilité

Le déterminant est un détecteur d'inversibilité. Un seul nombre décide du destin de tout un système.

Le théorème central

A est inversible   <=>   det(A) ≠ 0

Et l'on dispose alors de la valeur exacte de l'inverse :

det(A⁻¹) = 1 / det(A)

Ce résultat rejoint la liste des équivalences déjà connues :

det(A) ≠ 0
  <=>  A inversible
  <=>  rang(A) = n
  <=>  les colonnes forment une base
  <=>  A X = 0 n'a que la solution nulle
  <=>  A X = B a une solution unique pour tout B

Géométriquement, c'est limpide : si det = 0, la transformation aplatit l'espace sur un objet de dimension inférieure. Or on ne peut pas « dé-aplatir » — l'information perdue ne se retrouve pas. Aucune application ne peut inverser un écrasement.

La propriété la plus utile : le produit

det(A × B) = det(A) × det(B)

C'est remarquable : le déterminant transforme un produit de matrices — opération compliquée, non commutative — en un simple produit de nombres.

L'interprétation géométrique la rend évidente : si B multiplie les aires par 3 et A par 5, alors enchaîner les deux les multiplie par 15. L'ordre n'a d'ailleurs plus d'importance ici : det(AB) = det(BA), même si AB ≠ BA.

Cette formule permet de retrouver det(A⁻¹) en une ligne :

A × A⁻¹ = I   ->   det(A) × det(A⁻¹) = det(I) = 1   ->   det(A⁻¹) = 1/det(A)

et confirme au passage qu'une matrice de déterminant nul ne peut pas être inversible : 0 × quelque chose ne fait jamais 1.

Les autres règles

det(tA) = det(A)                 la transposition ne change rien
det(λA) = λ^n × det(A)           attention : λ puissance n, pas λ
det(I)  = 1

La deuxième surprend souvent. Multiplier une matrice 3 × 3 par 2 multiplie son déterminant par 2³ = 8 : chacune des trois dimensions est dilatée, donc le volume est multiplié huit fois.

Et ce qui est FAUX

det(A + B) ≠ det(A) + det(B)          en général

Il n'existe aucune formule simple pour le déterminant d'une somme. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre : le déterminant est multiplicatif, jamais additif.

En résumé

• det(A) ≠ 0 ⟺ A inversible — le critère décisif.
• det(AB) = det(A) × det(B) : le déterminant est multiplicatif.
• det(A⁻¹) = 1/det(A), det(tA) = det(A), det(I) = 1.
• det(λA) = λⁿ det(A) : la puissance n vient des n dimensions dilatées.
• det(A + B) n'a aucune formule simple.
• Géométriquement : det = 0 = écrasement, et un écrasement ne s'inverse pas.