Cramer, aires et orientation

Le déterminant n'est pas qu'un test théorique. Il résout des systèmes, mesure des volumes et oriente l'espace.

Les formules de Cramer

Quand det(A) ≠ 0, chaque inconnue s'obtient par un quotient de déterminants. Pour un système à deux inconnues :

{ 3x +  y =  9              A = [ 3  1 ]      det(A) = 1
{ 5x + 2y = 16                  [ 5  2 ]

On remplace la colonne de l'inconnue cherchée par le second membre :

      | 9   1 |                    | 3   9 |
      | 16  2 |     18 - 16        | 5  16 |     48 - 45
x = ------------- = --------- = 2   ;   y = ------------ = --------- = 3
        det(A)          1                    det(A)           1

Vérification : 3×2 + 3 = 9 et 5×2 + 2×3 = 16. ✔

Quand s'en servir : pour un système 2 × 2 ou 3 × 3 littéral, ou pour obtenir une seule inconnue sans résoudre tout le système. Au-delà, c'est inutilisable — il faudrait calculer n + 1 déterminants — et le pivot reprend l'avantage.

Aires et volumes

L'usage le plus concret. L'aire d'un parallélogramme construit sur deux vecteurs, ou le volume d'un parallélépipède construit sur trois, est la valeur absolue du déterminant de leurs coordonnées :

u = (3 ; 1)      v = (1 ; 4)

aire = | det [[3, 1], [1, 4]] | = |12 - 1| = 11

Pour un triangle, c'est la moitié :

        C
       /|            aire(ABC) = ½ |det( AB , AC )|
      / |
     /  |
    A---B

Cette formule est utilisée en permanence en infographie et en cartographie, notamment pour tester si un point est à l'intérieur d'un triangle : on compare les signes de trois déterminants.

Orientation et produit vectoriel

Le signe du déterminant oriente l'espace :

det( u , v ) > 0   ->  v est « à gauche » de u  (sens direct)
det( u , v ) < 0   ->  v est « à droite » de u  (sens indirect)
det( u , v ) = 0   ->  u et v sont alignés

C'est le test d'orientation de base des algorithmes géométriques : détection du sens d'un polygone, calcul d'enveloppe convexe, intersection de segments.

En dimension 3, le déterminant des trois vecteurs det(u, v, w) s'appelle le produit mixte : nul si les trois vecteurs sont coplanaires, positif si le trièdre est direct.

Le jacobien, pour la suite

En analyse, lorsqu'on change de variables dans une intégrale multiple, l'élément de volume est corrigé par le déterminant jacobien — le déterminant de la matrice des dérivées partielles. Passer en coordonnées polaires fait ainsi apparaître le fameux facteur r :

dx dy  =  r  dr dθ

C'est encore la même idée : un déterminant mesure combien une transformation dilate les volumes, localement cette fois.

En résumé

• Cramer : xi = det(Ai) / det(A), en remplaçant la colonne i par le second membre.
• Cramer est commode en petite taille ou en calcul littéral ; le pivot reste la méthode générale.
• L'aire d'un parallélogramme est |det| ; celle d'un triangle, la moitié.
• Le signe du déterminant donne l'orientation — base des algorithmes géométriques.
• En dimension 3, det(u, v, w) = 0 signifie vecteurs coplanaires.
• Le jacobien étend l'idée au changement de variables dans les intégrales.