Calculer un déterminant sans s'épuiser

Au-delà du 3 × 3, il faut une méthode. Deux techniques coexistent : le développement par cofacteurs, universel mais coûteux, et le pivot de Gauss, bien plus rapide.

Le développement selon une ligne ou une colonne

L'idée est de ramener un déterminant de taille n à des déterminants de taille n - 1. On choisit une ligne (ou une colonne), et pour chacun de ses coefficients on multiplie par le déterminant obtenu en supprimant sa ligne et sa colonne, avec un signe alterné.

Le damier des signes :

   [ +  -  + ]
   [ -  +  - ]
   [ +  -  + ]        signe = (-1) puissance (i + j)

Sur un exemple, en développant selon la première ligne :

  | 2  -1   0 |
  | 1   3   2 |
  | 0   1   4 |

= 2 × | 3  2 |  - (-1) × | 1  2 |  + 0 × | 1  3 |
      | 1  4 |           | 0  4 |        | 0  1 |

= 2 × (12 - 2)  + 1 × (4 - 0)  + 0
= 20 + 4 = 24

Le bon réflexe : développer selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros. Ici, la troisième colonne (deux zéros… en fait un seul) ou la première colonne aurait aussi bien fonctionné. Chaque zéro supprime un calcul entier.

Les matrices triangulaires : gratuit

  | 2   7  -1 |
  | 0   3   5 |   =  2 × 3 × 4  =  24
  | 0   0   4 |

Pour une matrice triangulaire (ou diagonale), le déterminant est simplement le produit des coefficients diagonaux. C'est ce qui rend la seconde méthode si efficace.

La méthode rapide : échelonner d'abord

Le pivot de Gauss transforme n'importe quelle matrice en matrice triangulaire. Il suffit de savoir comment chaque opération affecte le déterminant :

Opération                                  Effet sur le déterminant
-----------------------------------------  ------------------------
échanger deux lignes                       change le SIGNE
multiplier une ligne par k                 multiplie par k
ajouter à une ligne un multiple d'une autre  NE CHANGE RIEN

La troisième ligne est la clé : l'opération la plus utilisée du pivot laisse le déterminant intact. On échelonne donc librement, puis on multiplie la diagonale.

| 2  -1   0 |          | 2  -1   0 |
| 1   3   2 |    ->    | 0  3,5  2 |    ->   det = 2 × 3,5 × (4 - 4/7)
| 0   1   4 |          | 0   1   4 |              = 2 × 3,5 × 24/7 = 24

Le gain est spectaculaire : le développement par cofacteurs coûte de l'ordre de n! opérations (à 20 × 20, c'est déjà hors de portée de tout ordinateur), le pivot seulement n³.

Deux propriétés qui font gagner du temps

- Une matrice ayant deux lignes (ou colonnes) IDENTIQUES a un déterminant nul.
- Une matrice ayant une ligne (ou colonne) NULLE a un déterminant nul.
- Plus généralement : si les lignes sont LIÉES, le déterminant est nul.

Avant de calculer, on regarde donc si une ligne est combinaison des autres : la réponse est parfois immédiate.

En résumé

• Développement : on parcourt une ligne ou une colonne, avec le damier de signes (-1)^(i+j).
• Choisir la ligne ou la colonne avec le plus de zéros.
• Déterminant d'une matrice triangulaire = produit de la diagonale.
• Échanger deux lignes change le signe ; ajouter un multiple d'une ligne ne change rien.
• Méthode efficace : échelonner puis multiplier la diagonale (n³ au lieu de n!).
• Lignes liées, ligne nulle, lignes identiques → déterminant nul.