Déterminant 2 × 2 et 3 × 3

Le déterminant est un nombre attaché à une matrice carrée. Sa définition algébrique paraît arbitraire ; sa signification géométrique, elle, est limpide : c'est le facteur par lequel les aires sont multipliées.

Le déterminant 2 × 2

        [ a  b ]
  A =   [ c  d ]        det(A) = ad - bc

Exemple : det [[3, 1], [5, 2]] = 3×2 - 1×5 = 1.

Ce que ce nombre mesure

Les deux colonnes de A sont deux vecteurs du plan. Ils déterminent un parallélogramme, et le déterminant en donne l'aire — au signe près.

          ^
          |        ____________
        d |       /           /
          |      /  aire =   /
          |     /  |ad - bc| /
          |    /___________/
          +-------------------->
                   a

   colonne 1 = (a ; c)      colonne 2 = (b ; d)

Sur la base canonique, le carré unité a pour aire 1, et son image par A a pour aire |det A|. D'où la lecture dynamique : |det A| est le coefficient d'agrandissement des aires par l'application linéaire associée.

det = 2     ->  les aires doublent
det = 1     ->  les aires sont conservées (rotation, cisaillement)
det = 0,5   ->  les aires sont divisées par deux
det = 0     ->  tout est aplati sur une droite ou un point

Le cas det = 0

C'est le plus important. det(A) = 0 signifie que le parallélogramme est plat : les deux colonnes sont colinéaires, elles pointent dans la même direction.

    det ≠ 0                      det = 0
      ^                            ^
      |  /                         |   /
      | /                          |  /  (les deux vecteurs
      |/____>                      |_/____>   sur la même droite)

  vraie surface                  surface nulle
  matrice inversible             matrice non inversible

Tout ce qu'on a vu jusqu'ici se recolle ici : colonnes colinéaires = famille liée = rang insuffisant = système sans solution unique = matrice non inversible.

Le signe : une question d'orientation

Le déterminant est signé. Son signe dit si la transformation conserve l'orientation du plan ou la retourne :

det > 0   ->  orientation conservée   (rotation, agrandissement)
det < 0   ->  orientation renversée   (symétrie, effet miroir)

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses, de matrice [[1, 0], [0, -1]], a pour déterminant -1 : elle conserve les aires mais retourne le plan.

En dimension 3 : un volume

Pour une matrice 3 × 3, le déterminant donne le volume du parallélépipède construit sur les trois colonnes. On peut le calculer par la règle de Sarrus :

  | a  b  c |
  | d  e  f |  = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
  | g  h  i |

  On recopie les deux premières colonnes à droite,
  on additionne les trois diagonales descendantes,
  on retranche les trois diagonales montantes.

Attention : la règle de Sarrus ne vaut qu'en dimension 3. L'appliquer à une matrice 4 × 4 est une erreur classique et fausse.

En résumé

• det [[a, b], [c, d]] = ad - bc.
• |det A| est l'aire du parallélogramme des colonnes — le volume en dimension 3.
• C'est le facteur de multiplication des aires par l'application linéaire.
• det A = 0 ⟺ colonnes colinéaires ⟺ matrice non inversible.
• Le signe indique si l'orientation est conservée (> 0) ou renversée (< 0).
• Sarrus ne s'applique qu'en dimension 3.