Qu'est-ce qu'une application linéaire ?

Une application linéaire est une transformation qui respecte les deux opérations d'un espace vectoriel. C'est la seule catégorie de fonctions que l'algèbre linéaire étudie — et c'est déjà énorme : rotations, projections, dérivation, transformée de Fourier, couches d'un réseau de neurones.

La définition

Une application f d'un espace E vers un espace F est linéaire si :

f(u + v) = f(u) + f(v)              elle respecte l'addition
f(λ·u)   = λ·f(u)                   elle respecte la multiplication

Les deux se résument en une seule condition, celle qu'on vérifie en pratique :

f(λu + μv) = λ·f(u) + μ·f(v)

En clair : combiner puis transformer donne le même résultat que transformer puis combiner. L'ordre des opérations est indifférent, et c'est cette commutation qui rend tout calculable.

      u, v  ---- combiner ---->  λu + μv
        |                            |
    transformer                 transformer
        |                            |
        v                            v
    f(u), f(v) -- combiner --> λf(u) + μf(v)      <- les deux chemins coïncident

Conséquence immédiate

Une application linéaire envoie toujours le vecteur nul sur le vecteur nul :

f(0) = f(0 · u) = 0 · f(u) = 0

C'est le test le plus rapide : si f(0) ≠ 0, l'application n'est pas linéaire.

Ce qui est linéaire, ce qui ne l'est pas

LINÉAIRE                                NON LINÉAIRE
------------------------------------    ---------------------------------
rotation autour de l'origine            translation (f(0) = vecteur ≠ 0)
projection sur une droite/un plan       x -> x²  (car (2x)² = 4x², pas 2x²)
homothétie  x -> 3x                     x -> x + 1  (« affine », pas linéaire)
symétrie par rapport à une droite       x -> sin(x)
la dérivation P -> P'                   x -> |x|
l'intégrale f -> intégrale de f

Attention au piège classique : x -> 2x + 1 s'appelle une fonction affine, et son graphe est bien une droite — mais elle n'est pas linéaire au sens de l'algèbre linéaire, puisque f(0) = 1 ≠ 0.

Le cas géométrique

Dans le plan, les applications linéaires sont exactement les transformations qui fixent l'origine et conservent les alignements :

    avant                        après une projection sur l'axe x

     ^                                ^
     |  •  •                          |
     |    •                           |
  ---+--------->                   ---+--•--•--•--->
     |                                |
     O                                O

l'origine reste l'origine, une droite reste une droite (ou un point)

Une application linéaire transforme un quadrillage régulier en un autre quadrillage régulier : les mailles peuvent être étirées, inclinées, aplaties — jamais courbées.

Un exemple hors géométrie

Sur l'espace des polynômes, la dérivation D : P -> P' est linéaire :

(P + Q)' = P' + Q'          et        (λP)' = λP'

C'est ce qui permet de traiter les équations différentielles linéaires avec les outils matriciels : noyau, image, rang, valeurs propres s'appliquent tels quels.

En résumé

• f est linéaire si f(λu + μv) = λf(u) + μf(v).
• Conséquence : f(0) = 0 — un test immédiat pour éliminer les candidates.
• Linéaires : rotations, projections, symétries, homothéties, dérivation, intégration.
• Non linéaires : translations, x -> x², x -> x + 1 (affine), x -> |x|.
• Une application linéaire conserve les droites et l'origine, jamais elle ne courbe.