La matrice d'une application linéaire

Voici le résultat qui relie les deux moitiés du cours : en dimension finie, toute application linéaire est une matrice, et toute matrice est une application linéaire.

Une base suffit à tout déterminer

Soit f linéaire et (e1, …, en) une base de l'espace de départ. Tout vecteur s'écrit v = x1e1 + … + xnen, donc par linéarité :

f(v) = x1·f(e1) + x2·f(e2) + ... + xn·f(en)

Autrement dit : si l'on connaît les images des vecteurs de la base, on connaît f partout. Une application linéaire, pourtant définie sur une infinité de vecteurs, tient dans n données.

La matrice : les images en colonnes

On range ces images en colonnes, dans l'ordre :

              f(e1)  f(e2)  f(e3)
              |      |      |
        A =  [ .      .      . ]
             [ .      .      . ]

  colonne j de A = coordonnées de f(ej)

Et alors, pour tout vecteur v de coordonnées X :

f(v)  correspond à  A X

Calculer l'image d'un vecteur devient un simple produit matriciel.

L'exemple à connaître : la rotation d'un quart de tour

Dans le plan, la rotation de 90° dans le sens direct envoie :

e1 = (1 ; 0)  ->  (0 ; 1)              ^
e2 = (0 ; 1)  -> (-1 ; 0)              |  e2 -> (-1;0)
                                       |
        [ 0  -1 ]                  ----+----> e1 -> (0;1)
   A =  [ 1   0 ]                      |

Vérifions sur v = (2 ; 3) :

[ 0  -1 ] [ 2 ]   [ -3 ]
[ 1   0 ]×[ 3 ] = [  2 ]       (2 ; 3) tourne bien en (-3 ; 2)

Quelques autres matrices géométriques utiles :

homothétie de rapport k    projection sur l'axe x     symétrie / axe x
   [ k  0 ]                   [ 1  0 ]                  [ 1   0 ]
   [ 0  k ]                   [ 0  0 ]                  [ 0  -1 ]

Composer, c'est multiplier

Voilà enfin la justification de la définition biscornue du produit matriciel :

matrice de (f suivie de g)  =  (matrice de g) × (matrice de f)

Le produit de matrices est la composition d'applications. Cela explique d'un coup deux choses vues précédemment :

• la non-commutativité : tourner puis projeter n'est pas projeter puis tourner ;
• l'ordre inversé : f s'applique en premier mais s'écrit à droite, comme dans la notation g ∘ f.

De même, A⁻¹ est la matrice de l'application réciproque, quand celle-ci existe.

Le changement de base, en une phrase

La matrice dépend de la base choisie : le même objet géométrique a plusieurs matrices. Bien choisir la base, c'est obtenir la matrice la plus simple possible — idéalement diagonale. C'est tout l'objet du cours sur la diagonalisation.

En résumé

• Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base.
• Ces images, rangées en colonnes, forment la matrice de l'application.
• Calculer une image revient au produit A X.
• Rotation d'un quart de tour : [[0, -1], [1, 0]].
• Composer deux applications, c'est multiplier leurs matrices, dans l'ordre inverse de l'application.
• La matrice dépend de la base ; changer de base change la matrice, pas l'application.