Le noyau et l'image

Deux sous-espaces racontent tout d'une application linéaire : ce qu'elle écrase (le noyau) et ce qu'elle atteint (l'image).

Le noyau : ce qui est écrasé sur zéro

Ker f = { v de E  tels que  f(v) = 0 }

C'est l'ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul. En termes matriciels, c'est exactement l'ensemble des solutions du système homogène A X = 0 — un objet déjà rencontré.

Le noyau est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ, et il contient toujours 0.

L'image : ce qui est atteint

Im f = { f(v)  pour v parcourant E }

C'est l'ensemble des vecteurs effectivement atteints par f. Comme f(v) = A X est une combinaison des colonnes de A :

Im f = Vect( colonnes de A )

L'image est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée.

Le schéma à retenir

        E (départ)                       F (arrivée)
   ___________________              ___________________
  |                   |            |                   |
  |    Ker f          |    f       |     Im f          |
  |   (écrasé sur 0)  |  ------->  |   (atteint)       |
  |___________________|            |___________________|

  vit dans le DÉPART                vit dans l'ARRIVÉE

Ne pas les confondre : ils ne vivent même pas dans le même espace.

Injectivité et surjectivité, version linéaire

C'est ici que ces notions deviennent simples à tester :

f injective   <=>   Ker f = {0}          (rien n'est écrasé, sauf 0)
f surjective  <=>   Im f = F             (tout est atteint)
f bijective   <=>   les deux

Le premier critère mérite d'être justifié : si f(u) = f(v), alors par linéarité f(u - v) = 0, donc u - v est dans le noyau. Si le noyau est réduit à {0}, cela force u = v. Une application linéaire est injective si et seulement si elle n'écrase que le vecteur nul — un seul sous-espace à calculer au lieu de comparer toutes les paires de vecteurs.

Un exemple complet

Soit f : R³ -> R² définie par f(x ; y ; z) = (x + y ; y + z), de matrice

A = [ 1  1  0 ]
    [ 0  1  1 ]

Noyau : on résout x + y = 0 et y + z = 0, d'où y = -x et z = -y = x :

Ker f = { (x ; -x ; x) } = Vect( (1 ; -1 ; 1) )      dimension 1

f n'est donc pas injective : le vecteur (1 ; -1 ; 1) est écrasé sur zéro.

Image : les colonnes sont (1;0), (1;1), (0;1). Les deux premières suffisent à engendrer R² :

Im f = R²        dimension 2       ->  f est surjective

En résumé

• Ker f = les vecteurs envoyés sur 0 ; il vit dans l'espace de départ.
• Im f = les vecteurs atteints ; il vit dans l'espace d'arrivée et est engendré par les colonnes.
• Les deux sont des sous-espaces vectoriels.
• f injective ⟺ Ker f = {0}.
• f surjective ⟺ Im f = espace d'arrivée tout entier.
• Calculer le noyau revient à résoudre le système homogène A X = 0.