Le théorème du rang

Noyau et image ne varient pas indépendamment : ce qui est perdu d'un côté est exactement ce qui manque de l'autre. C'est le théorème du rang, le résultat le plus utilisé de tout le cours.

L'énoncé

Pour f linéaire d'un espace E de dimension finie vers un espace F :

dim Ker f  +  dim Im f  =  dim E
              \________/
                  rang de f

La dimension de l'image s'appelle le rang de f. C'est le même rang que celui de la matrice de f — le nombre de pivots.

L'intuition : un budget de dimensions

L'espace de départ dispose de dim E dimensions. Chacune est soit écrasée (elle part au noyau), soit transmise (elle contribue à l'image). Rien ne se perd, rien ne se crée :

   dim E = 3
   ______________________________
  |          |                   |
  |  écrasé  |     transmis      |
  |  (noyau) |     (image)       |
  |__________|___________________|
      dim 1          dim 2

L'exemple de la projection

La projection de R³ sur le plan z = 0 a pour matrice diag(1, 1, 0) :

        z
        |    • v = (x ; y ; z)
        |   /|
        |  / |          l'axe z est écrasé      -> Ker, dimension 1
        | /  |          le plan z = 0 est atteint -> Im, dimension 2
    ----+----•-------
       /     p(v) = (x ; y ; 0)

               1 + 2 = 3 = dim R³      ✔

Le cas particulier le plus utile

Quand l'espace de départ et celui d'arrivée ont la même dimension finie — en particulier pour une matrice carrée — le théorème donne une équivalence remarquable :

f injective   <=>   f surjective   <=>   f bijective

En effet, si Ker f = {0}, alors dim Im f = dim E = dim F, donc Im f = F. Une seule vérification suffit, et c'est en général celle du noyau, plus rapide.

Attention : cette équivalence est fausse en dimension infinie. Sur l'espace des polynômes, la dérivation est surjective mais pas injective (les constantes sont écrasées).

Ce que le rang permet de lire immédiatement

Pour une matrice A de taille m × n (donc f : R^n -> R^m) de rang r :

dim Ker = n - r      nombre de paramètres libres du système A X = 0
dim Im  = r          nombre de colonnes indépendantes

r = n   ->  injective        (aucun paramètre libre)
r = m   ->  surjective       (l'image remplit l'arrivée)
r = n = m -> bijective, A est inversible

On retrouve exactement les résultats du cours sur les systèmes : n - r était déjà le nombre de paramètres des solutions. Ce n'était pas une coïncidence — c'était le théorème du rang, avant de porter son nom.

En résumé

• Théorème du rang : dim Ker f + rang f = dim E.
• Le rang est la dimension de l'image, égale au nombre de pivots de la matrice.
• Chaque dimension du départ est soit écrasée, soit transmise.
• En dimensions égales (matrice carrée) : injective ⟺ surjective ⟺ bijective.
• Cette équivalence tombe en dimension infinie.
• Pour A de taille m × n et de rang r : dim Ker = n - r, dim Im = r.