Énoncé et démonstration

Énoncé du théorème

Théorème du point fixe de Banach. Soit $X$ une partie fermée et non vide de $\mathbb{R}$, et $f : X \to X$ une application $k$-contractante, avec $0 \leq k < 1$. Alors $f$ admet un unique point fixe $c$ dans $X$, et pour tout $u_0$ de $X$, la suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $c$.

Trois hypothèses, aucune superflue : $X$ fermé — un segment $[a \,;\, b]$ fait parfaitement l'affaire —, la stabilité $f(X) \subset X$, et la contraction stricte $k < 1$.

L'énoncé de Banach, publié en 1922, vaut en réalité dans tout espace métrique complet, ce qui en fait l'un des outils les plus réutilisés de l'analyse.

Démonstration

Existence. Partons d'un point $u_0$ quelconque de $X$ et posons $u_{n+1} = f(u_n)$ ; la stabilité $f(X) \subset X$ garantit que la suite reste bien définie dans $X$.

La contraction appliquée à deux termes consécutifs donne

$$\lvert u_{n+1} - u_n \rvert = \lvert f(u_n) - f(u_{n-1}) \rvert \leq k\,\lvert u_n - u_{n-1} \rvert$$

d'où, par récurrence, $\lvert u_{n+1} - u_n \rvert \leq k^n\,\lvert u_1 - u_0 \rvert$.

Pour $p > n$, l'inégalité triangulaire et la somme d'une série géométrique donnent alors

$$\lvert u_p - u_n \rvert \leq \sum_{j=n}^{p-1} \lvert u_{j+1} - u_j \rvert \leq \lvert u_1 - u_0 \rvert \sum_{j=n}^{p-1} k^j \leq \frac{k^n}{1 - k}\,\lvert u_1 - u_0 \rvert$$

Le majorant tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini, indépendamment de $p$ : la suite $(u_n)$ est de Cauchy. Comme $\mathbb{R}$ est complet, elle converge vers un réel $c$, et comme $X$ est fermé, $c$ appartient à $X$.

Une fonction contractante étant continue, le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ donne $c = f(c)$.

Unicité. Supposons deux points fixes $c$ et $d$. Alors

$$\lvert c - d \rvert = \lvert f(c) - f(d) \rvert \leq k\,\lvert c - d \rvert$$

donc $(1 - k)\,\lvert c - d \rvert \leq 0$. Comme $1 - k > 0$, il vient $\lvert c - d \rvert = 0$, c'est-à-dire $c = d$.

Chaque hypothèse est nécessaire

Hypothèse retirée	Contre-exemple	Ce qui échoue
$X$ fermé	$f(x) = \dfrac{x}{2}$ sur $\left]0 \,;\, 1\right]$	la limite $0$ sort de $X$
$f(X) \subset X$	$f(x) = \dfrac{x}{2} + 3$ sur $[0 \,;\, 1]$	la suite quitte l'intervalle
$k < 1$ strict	$f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ sur $\left[1 \,;\, +\infty\right[$	aucun point fixe
$X$ non vide	—	rien à démontrer

Piège classique

Oublier de vérifier la stabilité $f(X) \subset X$. C'est l'étape que l'on saute le plus volontiers, et c'est pourtant elle qui demande le vrai travail dans un exercice : il faut établir un encadrement de $f$ sur $X$, souvent par une étude de variations. Sans elle, la suite des itérées n'est même pas définie.