Rédiger la démonstration du théorème

Démontre le théorème du point fixe de Banach sur une partie fermée $X$ de $\mathbb{R}$ : montre que la suite des itérées est de Cauchy, justifie sa convergence dans $X$, prouve que la limite est un point fixe, puis établis l'unicité. Précise à chaque étape quelle hypothèse est utilisée.