Points fixes et applications contractantes

Point fixe

Un point fixe d'une fonction $f$ est un point que $f$ ne déplace pas :

$$f(c) = c$$

Graphiquement, c'est un point d'intersection de la courbe de $f$ avec la droite d'équation $y = x$. Résoudre une équation $g(x) = 0$ revient toujours à chercher un point fixe, par exemple en posant $f(x) = x + g(x)$ ou $f(x) = x - \dfrac{g(x)}{\lambda}$ : c'est ce changement de point de vue qui rend l'itération possible.

Applications contractantes

Une fonction $f$ définie sur une partie $X$ de $\mathbb{R}$ est contractante — on dit aussi $k$-contractante — s'il existe une constante $k$ vérifiant $0 \leq k < 1$ telle que

$$\forall (x, y) \in X^2,\quad \lvert f(x) - f(y) \rvert \leq k\,\lvert x - y \rvert$$

C'est exactement la définition d'une fonction $k$-lipschitzienne, avec l'exigence supplémentaire et décisive $k < 1$ : la fonction rapproche les points, d'un facteur au moins $k$ à chaque application.

L'inégalité des accroissements finis donne le critère pratique : si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ avec $\lvert f'(x) \rvert \leq k < 1$, alors $f$ est $k$-contractante sur $I$.

Exemples et contre-exemples

Fonction	Domaine	Contractante ?
$f(x) = \cos x$	$[0 \,;\, 1]$	oui, $k = \sin 1 \approx 0{,}841$
$f(x) = \dfrac{x + 5}{3}$	$\mathbb{R}$	oui, $k = \dfrac{1}{3}$
$f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)$	$[1 \,;\, 2]$	oui, $k = \dfrac{1}{2}$
$f(x) = x + 1$	$\mathbb{R}$	non, $k = 1$
$f(x) = x^2$	$[0 \,;\, 2]$	non, $\lvert f' \rvert$ atteint $4$

Détaillons la première ligne : sur $[0 \,;\, 1]$, $\lvert \cos'(x) \rvert = \lvert \sin x \rvert \leq \sin 1 \approx 0{,}841 < 1$, car le sinus croît sur cet intervalle. La fonction cosinus y est donc contractante.

Piège classique

Confondre « contractante » et « qui rapproche strictement les points ». La condition

$$\forall x \neq y,\quad \lvert f(x) - f(y) \rvert < \lvert x - y \rvert$$

est plus faible que la contraction, et elle ne suffit pas. Sur $\left[1 \,;\, +\infty\right[$, la fonction $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ vérifie $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} \in \left[0 \,;\, 1\right[$, donc rapproche strictement toute paire de points — et pourtant elle n'a aucun point fixe, puisque $f(x) = x$ imposerait $\dfrac{1}{x} = 0$. Ce qui manque, c'est une constante $k < 1$ uniforme.