Utiliser la reciproque et eviter les pieges
La reciproque du theoreme de Thales
A quoi sert la reciproque ?
Le theoreme de Thales permet de calculer une longueur quand on sait deja que deux droites sont paralleles. La reciproque fait l'inverse : elle permet de demontrer que deux droites sont paralleles, a partir de longueurs connues.
L'enonce
Soit A un point, M et B alignes avec A (M sur [AB]), N et C alignes avec A (N sur [AC]). Si :
AM/AB = AN/AC
alors les droites (MN) et (BC) sont paralleles.
Exemple
On donne AB = 10 cm, AM = 4 cm, AC = 15 cm, AN = 6 cm.
On calcule les deux rapports : AM/AB = 4/10 = 0.4 AN/AC = 6/15 = 0.4
Les deux rapports sont egaux, donc d'apres la reciproque de Thales, (MN) // (BC).
Tableau des conditions a reunir
| Condition | Explication |
|---|---|
| Alignement | A, M, B alignes ET A, N, C alignes |
| Egalite des rapports | AM/AB = AN/AC (calcules separement) |
| Conclusion | (MN) parallele a (BC) |
Piege : ne pas confondre avec le theoreme direct
Le theoreme de Thales (direct) part d'un parallelisme deja connu pour calculer une longueur. La reciproque part de longueurs connues pour prouver un parallelisme. Ce ne sont pas les memes hypotheses ni les memes conclusions : bien lire l'enonce d'un exercice permet de savoir lequel utiliser.