Fonctions lipschitziennes et module de continuité

Fonctions lipschitziennes

Une fonction $f$ est dite $k$-lipschitzienne sur $I$ s'il existe une constante $k \geq 0$ telle que

$$\forall (x, y) \in I^2,\quad \lvert f(x) - f(y) \rvert \leq k \lvert x - y \rvert$$

Une telle fonction est uniformément continue : pour $\varepsilon > 0$ donné, le choix $\delta = \dfrac{\varepsilon}{k}$ convient partout lorsque $k > 0$, et n'importe quel $\delta$ convient si $k = 0$.

En pratique, l'inégalité des accroissements finis fournit le critère le plus commode : si $f$ est dérivable sur $I$ avec $\lvert f'(x) \rvert \leq k$ pour tout $x$, alors $f$ est $k$-lipschitzienne, donc uniformément continue.

Une hiérarchie à retenir

$$\text{lipschitzienne} \implies \text{uniformément continue} \implies \text{continue}$$

Aucune des deux implications ne se renverse.

La fonction racine carrée le montre : sur $\left[0 \,;\, +\infty\right[$, l'inégalité $\lvert \sqrt{x} - \sqrt{y} \rvert \leq \sqrt{\lvert x - y \rvert}$ donne la continuité uniforme avec $\delta = \varepsilon^2$. Elle n'est pourtant lipschitzienne sur aucun voisinage de $0$, puisque

$$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{0}}{x - 0} = \frac{1}{\sqrt{x}} \xrightarrow[x \to 0^+]{} +\infty$$

Le module de continuité

L'outil qui mesure tout cela d'un coup est le module de continuité :

$$\omega_f(t) = \sup \left\{ \lvert f(x) - f(y) \rvert \;:\; (x, y) \in I^2,\; \lvert x - y \rvert \leq t \right\}$$

La fonction $f$ est uniformément continue sur $I$ si et seulement si $\omega_f(t) \to 0$ quand $t \to 0^+$. C'est une reformulation, mais elle rend les majorations d'erreur bien plus lisibles.

$f$	$I$	$\omega_f(t)$	Uniformément continue ?
$x \mapsto 3x + 1$	$\mathbb{R}$	$3t$	oui
$x \mapsto \sin x$	$\mathbb{R}$	$\leq t$	oui
$x \mapsto \sqrt{x}$	$\left[0 \,;\, +\infty\right[$	$\sqrt{t}$	oui, non lipschitzienne
$x \mapsto x^2$	$\mathbb{R}$	$+\infty$	non
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$\left]0 \,;\, 1\right]$	$+\infty$	non
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$\left[1 \,;\, +\infty\right[$	$\leq t$	oui, $1$-lipschitzienne

Piège classique

Croire qu'une fonction continue et bornée est automatiquement uniformément continue. Contre-exemple : $f(x) = \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $\left]0 \,;\, 1\right]$ ne prend que des valeurs de $[-1 \,;\, 1]$, et pourtant, avec

$$x_n = \frac{1}{2\pi n + \tfrac{\pi}{2}} \qquad \text{et} \qquad y_n = \frac{1}{2\pi n}$$

on obtient $\lvert x_n - y_n \rvert \to 0$ alors que $\lvert f(x_n) - f(y_n) \rvert = 1$ pour tout $n$. Ce qui manque ici n'est pas le caractère borné de $f$, mais le caractère fermé de l'intervalle en $0$.