Continuité simple et continuité uniforme

Deux définitions qui se ressemblent

Rappelons d'abord la continuité ordinaire de $f$ sur un intervalle $I$, écrite avec ses quantificateurs :

$$\forall x \in I,\; \forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0,\; \forall y \in I,\quad \lvert y - x \rvert \leq \delta \implies \lvert f(y) - f(x) \rvert \leq \varepsilon$$

La continuité uniforme sur $I$ déplace un seul quantificateur, et cela change tout :

$$\forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0,\; \forall (x, y) \in I^2,\quad \lvert x - y \rvert \leq \delta \implies \lvert f(x) - f(y) \rvert \leq \varepsilon$$

Où est la différence ?

Notion	Ordre des quantificateurs	Ce dont $\delta$ dépend
Continuité sur $I$	$\forall x,\; \forall \varepsilon,\; \exists \delta$	de $\varepsilon$ et de $x$
Continuité uniforme sur $I$	$\forall \varepsilon,\; \exists \delta,\; \forall x$	de $\varepsilon$ seulement

Dans le second cas, un même $\delta$ doit convenir partout sur $I$ : c'est le sens du mot « uniforme ». On en déduit immédiatement l'implication

$$f \text{ uniformément continue sur } I \implies f \text{ continue sur } I$$

et la réciproque est fausse en général, comme le montre l'exemple suivant.

Exemple : $x \mapsto x^2$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$

Posons $f(x) = x^2$, puis, pour $n \geq 1$ :

$$x_n = n \qquad \text{et} \qquad y_n = n + \frac{1}{n}$$

Les deux points se rapprochent autant qu'on veut, puisque $\lvert y_n - x_n \rvert = \dfrac{1}{n} \to 0$. Pourtant leurs images restent écartées :

$$\lvert f(y_n) - f(x_n) \rvert = \left(n + \frac{1}{n}\right)^2 - n^2 = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$$

Avec $\varepsilon = 1$, aucun $\delta > 0$ ne peut convenir pour tous les $x$ à la fois : il suffit de prendre $n$ tel que $\dfrac{1}{n} \leq \delta$ pour mettre la définition en défaut. La fonction est bien continue en chaque point, mais loin de l'origine il faut choisir $\delta$ de plus en plus petit, car la pente $f'(x) = 2x$ explose.

Piège classique

Ne rédigez jamais « soit $\delta$ associé à $\varepsilon$ par la continuité de $f$ » avant d'avoir fixé $x$ : ce $\delta$ dépend de $x$. Si votre démonstration a besoin ensuite du même $\delta$ pour un autre point, vous utilisez sans le dire la continuité uniforme — c'est exactement ce que le théorème de Heine autorisera, mais seulement sur un segment.