Conséquences : intégration et calcul numérique

Approximation par des fonctions en escalier

Soit $f$ continue sur $[a \,;\, b]$ et $\varepsilon > 0$. Le théorème de Heine donne un $\delta > 0$ uniforme. Choisissons une subdivision régulière $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b$ de pas $h = \dfrac{b - a}{n} \leq \delta$.

Sur chaque morceau $[t_i \,;\, t_{i+1}]$, deux points quelconques sont distants d'au plus $\delta$, donc les valeurs de $f$ y varient de moins de $\varepsilon$. La fonction en escalier qui vaut $f(t_i)$ sur $\left[t_i \,;\, t_{i+1}\right[$ approche donc $f$ à $\varepsilon$ près sur tout le segment.

C'est le sens profond du théorème : sur un compact, un unique découpage suffit pour contrôler la fonction partout.

Intégrabilité au sens de Riemann

Avec la même subdivision, notons $M_i$ et $m_i$ le maximum et le minimum de $f$ sur $[t_i \,;\, t_{i+1}]$. On a $M_i - m_i \leq \varepsilon$, donc l'écart entre les sommes de Darboux supérieure et inférieure vérifie

$$S(f, \sigma) - s(f, \sigma) = \sum_{i=0}^{n-1} (M_i - m_i)\,(t_{i+1} - t_i) \leq \varepsilon\,(b - a)$$

Cet écart devient aussi petit qu'on veut : toute fonction continue sur un segment est intégrable au sens de Riemann. Ce résultat, utilisé dans chaque calcul d'intégrale, repose donc directement sur Heine.

Contrôle de l'erreur en calcul numérique

Le module de continuité donne une majoration explicite pour la méthode des rectangles à gauche :

$$\left\lvert \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x - \frac{b - a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) \right\rvert \leq (b - a)\,\omega_f\!\left(\frac{b - a}{n}\right)$$

Heine assure que le membre de droite tend vers $0$ : la méthode converge pour n'importe quelle fonction continue, même sans hypothèse de dérivabilité. Si de plus $f$ est $k$-lipschitzienne, on obtient la majoration chiffrée

$$\left\lvert \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x - \frac{b - a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) \right\rvert \leq \frac{k\,(b - a)^2}{2n}$$

Sur $f(x) = \sin x$ et $[0 \,;\, \pi]$, avec $k = 1$, cela donne une erreur inférieure à $\dfrac{\pi^2}{2n}$, soit environ $0{,}005$ pour $n = 1000$.

Prolongement par continuité

Autre conséquence, dans l'autre sens : si $f$ est uniformément continue sur $\left]a \,;\, b\right[$, elle se prolonge par continuité en $a$ et en $b$. La démonstration utilise le critère de Cauchy — l'image d'une suite de Cauchy par une fonction uniformément continue reste de Cauchy, ce qui est faux sous la seule hypothèse de continuité.

C'est le bon éclairage sur $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $\left]0 \,;\, 1\right]$ : cette fonction ne se prolonge pas en $0$, donc elle ne pouvait pas y être uniformément continue.

Piège classique

Heine ne fournit aucun $\delta$ explicite. Quand un exercice demande une majoration chiffrée — nombre de points d'une subdivision, erreur d'une méthode numérique —, le théorème prouve seulement que la constante existe. Pour la calculer, il faut une information supplémentaire : une constante de Lipschitz, une borne sur $\lvert f' \rvert$, ou un module de continuité explicite.