Énoncé et démonstration du théorème de Heine

Énoncé du théorème

Théorème de Heine. Toute fonction continue sur un segment $[a \,;\, b]$ y est uniformément continue.

Le mot segment est essentiel : il désigne un intervalle à la fois fermé et borné de $\mathbb{R}$, c'est-à-dire un compact. Sous sa forme générale, due à Heine en 1872, l'énoncé dit qu'une application continue d'un espace métrique compact vers un espace métrique est uniformément continue.

Le théorème est purement existentiel : il garantit qu'un $\delta$ uniforme existe, sans jamais le fournir.

Démonstration par l'absurde

Supposons $f$ continue sur $[a \,;\, b]$ mais non uniformément continue. La négation de la définition s'écrit :

$$\exists \varepsilon_0 > 0,\; \forall \delta > 0,\; \exists (x, y) \in [a \,;\, b]^2,\quad \lvert x - y \rvert \leq \delta \;\text{ et }\; \lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0$$

Appliquons-la successivement à $\delta = \dfrac{1}{n}$ pour chaque entier $n \geq 1$. On obtient deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ de $[a \,;\, b]$ telles que

$$\lvert x_n - y_n \rvert \leq \frac{1}{n} \qquad \text{et} \qquad \lvert f(x_n) - f(y_n) \rvert > \varepsilon_0$$

La suite $(x_n)$ vit dans $[a \,;\, b]$, donc elle est bornée : le théorème de Bolzano-Weierstrass fournit une extractrice $\varphi$ strictement croissante et un réel $c$ tels que $x_{\varphi(n)} \to c$. Comme $[a \,;\, b]$ est fermé, la limite $c$ appartient encore à $[a \,;\, b]$.

Par encadrement, $y_{\varphi(n)} \to c$ également, puisque

$$\lvert y_{\varphi(n)} - c \rvert \leq \lvert y_{\varphi(n)} - x_{\varphi(n)} \rvert + \lvert x_{\varphi(n)} - c \rvert \leq \frac{1}{\varphi(n)} + \lvert x_{\varphi(n)} - c \rvert \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

La continuité de $f$ au seul point $c$ donne alors $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ et $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$, d'où

$$\lvert f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) \rvert \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

ce qui contredit la minoration stricte par $\varepsilon_0 > 0$. L'hypothèse de départ est donc absurde, et $f$ est uniformément continue sur $[a \,;\, b]$.

Variante par recouvrement

Une seconde démonstration utilise le théorème de Borel-Lebesgue. Pour $\varepsilon > 0$, la continuité en chaque point $x$ donne un $\delta_x > 0$ tel que $\lvert f(y) - f(x) \rvert \leq \tfrac{\varepsilon}{2}$ dès que $\lvert y - x \rvert \leq \delta_x$. Les intervalles ouverts centrés en $x$ et de rayon $\tfrac{\delta_x}{2}$ recouvrent $[a \,;\, b]$ ; on en extrait un sous-recouvrement fini indexé par $x_1, \dots, x_m$, et l'on pose

$$\delta = \min\left(\frac{\delta_{x_1}}{2}, \dots, \frac{\delta_{x_m}}{2}\right) > 0$$

Ce minimum est strictement positif parce que la famille est finie : c'est exactement là que la compacité intervient. L'inégalité triangulaire permet ensuite de conclure.

Piège classique

Le théorème tombe dès qu'une des deux hypothèses sur l'intervalle disparaît.

Intervalle	Exemple	Uniformément continue ?
$[0 \,;\, 1]$, fermé borné	$x \mapsto x^2$	oui, par Heine
$\left]0 \,;\, 1\right]$, non fermé	$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	non
$\left[0 \,;\, +\infty\right[$, non borné	$x \mapsto x^2$	non

Autre confusion fréquente : Heine ne dit rien sur la dérivabilité. La fonction $x \mapsto \lvert x \rvert$ sur $[-1 \,;\, 1]$ n'est pas dérivable en $0$ et reste uniformément continue.