Racines conjuguées et factorisation réelle

Les racines complexes vont par paires

Soit $P$ un polynôme à coefficients réels. La conjugaison respectant les sommes et les produits, on a pour tout complexe $z$ :

$$P\left(\overline{z}\right) = \overline{P(z)}$$

Par conséquent, si $z$ est racine de $P$, alors $\overline{z}$ l'est aussi, et avec la même multiplicité. Les racines non réelles d'un polynôme réel apparaissent donc toujours par paires conjuguées.

Deux conséquences immédiates

Un polynôme réel de degré impair possède au moins une racine réelle : les racines non réelles se comptant par paires, il en resterait un nombre impair, donc au moins une, sur l'axe réel. On retrouve, par l'algèbre, ce que le théorème des valeurs intermédiaires donnait par l'analyse.

Et le produit de deux facteurs conjugués est réel :

$$\left(X - z\right)\left(X - \overline{z}\right) = X^2 - 2\,\mathrm{Re}(z)\,X + \lvert z \rvert^2$$

Son discriminant vaut $4\left(\mathrm{Re}(z)^2 - \lvert z \rvert^2\right) = -4\,\mathrm{Im}(z)^2 < 0$ dès que $z$ n'est pas réel.

La factorisation dans $\mathbb{R}[X]$

En regroupant chaque racine non réelle avec sa conjuguée, on obtient l'énoncé qui sert en pratique :

Tout polynôme réel non constant se factorise dans $\mathbb{R}[X]$ en produit de facteurs de degré $1$ et de facteurs de degré $2$ à discriminant strictement négatif.

C'est ce résultat qui fonde la décomposition en éléments simples, donc le calcul des primitives de fractions rationnelles.

Un exemple complet

Factorisons $X^4 + 1$. Ses racines sont les racines quatrièmes de $-1$ :

$$z_k = e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\right)}, \qquad k \in \{0, 1, 2, 3\}$$

soit $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\pm 1 \pm i\right)$. Dans $\mathbb{C}[X]$, le polynôme est donc produit de quatre facteurs de degré $1$. En regroupant les conjuguées deux à deux, on obtient dans $\mathbb{R}[X]$ :

$$X^4 + 1 = \left(X^2 - \sqrt{2}\,X + 1\right)\left(X^2 + \sqrt{2}\,X + 1\right)$$

Les deux facteurs ont pour discriminant $2 - 4 = -2 < 0$ : ils sont bien irréductibles sur $\mathbb{R}$. Ce polynôme, sans aucune racine réelle, n'est pourtant pas irréductible dans $\mathbb{R}[X]$.

Piège classique

Croire qu'un polynôme réel sans racine réelle est irréductible sur $\mathbb{R}$. C'est vrai en degré $2$, faux dès le degré $4$, comme le montre $X^4 + 1$. Les seuls polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont ceux de degré $1$ et ceux de degré $2$ à discriminant négatif — aucun autre.