Le théorème fondamental de l'algèbre

L'énoncé

Théorème de d'Alembert-Gauss. Tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ de degré supérieur ou égal à $1$ admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$.

On l'appelle aussi théorème fondamental de l'algèbre. Il exprime que le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos : en passant des réels aux complexes, on n'a plus jamais besoin d'agrandir l'ensemble des nombres pour résoudre une équation polynomiale.

C'est un contraste net avec $\mathbb{R}$, où $X^2 + 1$ n'a aucune racine, et avec $\mathbb{Q}$, où $X^2 - 2$ n'en a pas davantage.

Le corollaire de factorisation

Une récurrence sur le degré transforme l'existence d'une racine en factorisation complète. Si $P$ est de degré $n \geq 1$ et de coefficient dominant $a_n$, alors

$$P(X) = a_n \prod_{i=1}^{n} \left(X - z_i\right)$$

où $z_1, \ldots, z_n$ sont les racines, répétées selon leur multiplicité.

Démonstration. Le théorème fournit une racine $z_1$. La division euclidienne par $X - z_1$ donne $P = (X - z_1)\,Q + r$ avec $r$ constant, et l'évaluation en $z_1$ montre $r = 0$. Le quotient $Q$ est de degré $n - 1$ : on applique l'hypothèse de récurrence.

On retient donc : un polynôme de degré $n$ possède exactement $n$ racines complexes comptées avec multiplicité.

Polynôme	Degré	Racines complexes avec multiplicité
$X^2 + 1$	$2$	$i$, $-i$
$X^2 - 2X + 1$	$2$	$1$ double
$X^3 - 1$	$3$	$1$, $j$, $\overline{j}$
$X^5 - 3X^2 + 1$	$5$	cinq racines, non explicites

La dernière ligne rappelle ce que le théorème dit et ne dit pas : il affirme l'existence des racines, sans fournir aucun moyen de les calculer. Le théorème d'Abel-Ruffini montre d'ailleurs qu'au-delà du degré $4$, aucune formule par radicaux ne peut exister en général.

Relations coefficients-racines

La factorisation donne gratuitement les relations de Viète. En degré $n$, en développant le produit :

$$\sum_{i=1}^{n} z_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \qquad \text{et} \qquad \prod_{i=1}^{n} z_i = (-1)^n\,\frac{a_0}{a_n}$$

Elles permettent de travailler sur les racines sans jamais les calculer, ce qui est souvent la seule voie praticable.

Piège classique

Confondre « $n$ racines » et « $n$ racines distinctes ». Le polynôme $X^2 - 2X + 1 = (X-1)^2$ n'a qu'une seule racine, mais elle est double : le compte de $n$ n'est exact qu'avec les multiplicités. Un polynôme de degré $n$ possède au plus $n$ racines distinctes, et exactement $n$ comptées avec multiplicité.