La preuve par le minimum du module

Pourquoi ce théorème n'est pas algébrique

Une surprise avant tout : aucune démonstration du théorème fondamental de l'algèbre n'est purement algébrique. Toutes utilisent, à un moment, une propriété analytique de $\mathbb{R}$ — la borne supérieure, la compacité, ou le théorème des valeurs intermédiaires.

C'est inévitable : la construction de $\mathbb{R}$ à partir de $\mathbb{Q}$ est elle-même analytique, et l'énoncé est faux sur des corps qui ressemblent algébriquement à $\mathbb{R}$ sans en avoir la complétude.

Le comportement à l'infini

Soit $P(z) = a_n z^n + \cdots + a_0$ avec $a_n \neq 0$ et $n \geq 1$. En factorisant le terme dominant :

$$P(z) = a_n z^n \left(1 + \frac{a_{n-1}}{a_n z} + \cdots + \frac{a_0}{a_n z^n}\right)$$

La parenthèse tend vers $1$ quand $\lvert z \rvert \to +\infty$, donc

$$\lvert P(z) \rvert \xrightarrow[\lvert z \rvert \to +\infty]{} +\infty$$

Il existe ainsi un rayon $R$ tel que $\lvert P(z) \rvert > \lvert P(0) \rvert$ dès que $\lvert z \rvert > R$.

Le minimum du module est atteint

Le disque fermé $D = \left\{\, z \in \mathbb{C} \;:\; \lvert z \rvert \leq R \,\right\}$ est fermé et borné. L'application $z \mapsto \lvert P(z) \rvert$ y est continue, donc, par le théorème des bornes atteintes — lui-même conséquence de Bolzano-Weierstrass —, elle y atteint son minimum en un point $z_0$.

Ce minimum sur $D$ est en fait un minimum sur $\mathbb{C}$ tout entier : à l'extérieur du disque, $\lvert P \rvert$ dépasse $\lvert P(0) \rvert$, qui est déjà supérieur ou égal au minimum sur $D$.

Le lemme de d'Alembert

Si $P(z_0) \neq 0$, alors tout voisinage de $z_0$ contient un point $z$ tel que $\lvert P(z) \rvert < \lvert P(z_0) \rvert$.

Idée de la démonstration. On écrit $P$ au voisinage de $z_0$ sous la forme

$$P(z_0 + h) = P(z_0) + c_m\,h^m + \left(\text{termes de degré} > m\right)$$

où $c_m$ est le premier coefficient non nul après le terme constant. Pour $\lvert h \rvert$ petit, le terme $c_m h^m$ domine tout le reste. Il suffit alors de choisir l'argument de $h$ de manière que $c_m h^m$ soit de signe opposé à $P(z_0)$, c'est-à-dire

$$\arg(h) = \frac{\arg\!\left(P(z_0)\right) - \arg\left(c_m\right) + \pi}{m}$$

ce qui est toujours possible dans $\mathbb{C}$, puisque tout complexe non nul y admet $m$ racines $m$-ièmes. Le module de $P$ diminue alors strictement.

C'est exactement ici que $\mathbb{C}$ fait la différence : dans $\mathbb{R}$, on ne dispose pas de cette liberté sur l'argument, et l'argument s'effondre.

Conclusion de la démonstration

Le module $\lvert P \rvert$ atteint son minimum en $z_0$. Si l'on avait $P(z_0) \neq 0$, le lemme de d'Alembert fournirait un point voisin où le module serait strictement plus petit, ce qui contredirait la minimalité. Donc

$$P(z_0) = 0$$

et le polynôme admet bien une racine. C'est la démonstration dite de d'Alembert-Argand, la plus élémentaire des nombreuses preuves connues.

Piège classique

Croire que le minimum du module est atteint parce que « $\mathbb{C}$ est complet ». La complétude ne suffit pas : c'est la compacité du disque fermé borné qui est en jeu, exactement comme dans le théorème des bornes atteintes sur un segment. Sur un disque ouvert, le minimum pourrait très bien n'être jamais atteint.