Histoire, autres preuves et portée

Deux siècles de démonstrations

Date	Auteur	Apport
$1608$	Roth, Girard	énoncé conjectural : $n$ racines pour un degré $n$
$1746$	d'Alembert	première tentative, avec une lacune analytique
$1799$	Gauss	thèse de doctorat, argument topologique
$1806$	Argand	la preuve par le minimum du module
$1816$	Gauss	deuxième et troisième démonstrations
$1849$	Gauss	quatrième démonstration, cas des coefficients complexes

Gauss en donnera quatre au cours de sa vie, la dernière cinquante ans après la première. Le nom français du théorème conserve les deux contributions : d'Alembert pour l'idée, Gauss pour la rigueur.

Les autres voies

Par l'analyse complexe. C'est la démonstration la plus courte. Si $P$ ne s'annulait pas, la fonction $\dfrac{1}{P}$ serait holomorphe sur $\mathbb{C}$ tout entier et bornée, puisque $\lvert P \rvert \to +\infty$. Le théorème de Liouville la rendrait constante, donc $P$ aussi — ce qui contredit $\deg P \geq 1$.

Par la topologie. On regarde l'image du cercle de rayon $r$ par $P$. Pour $r$ grand, cette courbe fait $n$ tours autour de l'origine ; pour $r = 0$, elle est réduite à un point. Une racine doit apparaître lorsque l'indice change.

Par l'algèbre et l'analyse. La preuve de Laplace, complétée par Galois, n'utilise de l'analyse que le théorème des valeurs intermédiaires, à travers le fait que tout polynôme réel de degré impair a une racine réelle. Tout le reste est de la théorie des corps.

Ce que le théorème rend possible

Domaine	Conséquence
Réduction des endomorphismes	tout endomorphisme complexe est trigonalisable
Intégration	décomposition en éléments simples des fractions rationnelles
Équations différentielles linéaires	racines du polynôme caractéristique, donc solutions
Traitement du signal	factorisation des filtres en pôles et zéros
Arithmétique	irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ : degrés $1$ et $2$ seulement

La première ligne est la plus lourde de conséquences : c'est parce que le polynôme caractéristique possède toujours une racine dans $\mathbb{C}$ que tout endomorphisme d'un espace complexe admet une valeur propre, et donc que la réduction de Jordan existe.

Ce que le théorème ne donne pas

Il ne fournit aucune racine explicite. Abel et Ruffini ont montré qu'aucune formule générale par radicaux n'existe au-delà du degré $4$, et la théorie de Galois explique pourquoi : le groupe de permutations des racines devient non résoluble.

En pratique, on calcule donc les racines numériquement — méthode de Newton, algorithme de Durand-Kerner, valeurs propres de la matrice compagnon — en s'appuyant sur le théorème pour savoir qu'il y a bien quelque chose à trouver.

Piège classique

Utiliser le théorème pour affirmer qu'un polynôme à coefficients réels se factorise en facteurs de degré $1$ sur $\mathbb{R}$. La factorisation complète en facteurs linéaires a lieu dans $\mathbb{C}[X]$ ; sur $\mathbb{R}$, il subsiste les facteurs quadratiques à discriminant négatif. Vérifiez toujours dans quel ensemble on vous demande de factoriser.