Resoudre une equation grace a la forme canonique

Resoudre f(x) = 0 avec la forme canonique

A partir de a(x - alpha)^2 + beta = 0, on isole le carre :

(x - alpha)^2 = -beta/a

Trois cas selon le signe de -beta/a :

Cas	Consequence
-beta/a < 0	pas de solution reelle
-beta/a = 0	une solution unique x = alpha
-beta/a > 0	deux solutions x = alpha - sqrt(-beta/a) et x = alpha + sqrt(-beta/a)

Exemple

Soit f(x) = 2(x - 2)^2 - 3. On resout f(x) = 0 :

2(x - 2)^2 - 3 = 0 (x - 2)^2 = 3/2 x - 2 = sqrt(3/2) ou x - 2 = -sqrt(3/2) x = 2 + sqrt(3/2) ou x = 2 - sqrt(3/2)

Un cas plus simple

Soit g(x) = (x - 1)^2 - 9. On resout (x - 1)^2 = 9, donc x - 1 = 3 ou x - 1 = -3, soit x = 4 ou x = -2.

Piege classique

Quand on passe de (x - alpha)^2 = k a x - alpha = +/- sqrt(k), il ne faut jamais oublier la solution negative : une racine carree n'a qu'une valeur positive, mais l'equation garde deux solutions symetriques autour de alpha.