Etudier le signe et tracer la parabole

Etudier le signe de f

La forme canonique f(x) = a(x - alpha)^2 + beta permet d'etudier le signe de f sans factoriser davantage, en revenant a l'inegalite a(x - alpha)^2 >= -beta selon les memes trois cas que pour la resolution.

Methode

1. Calculer les racines eventuelles x1 et x2 comme dans la lecon precedente.
2. Si deux racines existent, f(x) est du signe de a a l'exterieur de [x1 ; x2] et du signe oppose entre les racines.
3. Si aucune racine n'existe, f garde le signe de a sur R tout entier.

Exemple

Pour f(x) = 2(x - 2)^2 - 3, les racines sont x1 = 2 - sqrt(3/2) et x2 = 2 + sqrt(3/2). Comme a = 2 > 0 : f(x) < 0 entre x1 et x2, f(x) > 0 a l'exterieur, f(x1) = f(x2) = 0.

Tracer l'allure de la parabole

Pour esquisser la courbe rapidement : placer le sommet S(alpha ; beta), tracer l'axe de symetrie x = alpha, orienter les branches vers le haut si a > 0 ou vers le bas si a < 0, puis placer les racines si elles existent.

Piege classique

Ne pas confondre le signe de f et le signe de a : entre les racines, f prend le signe oppose a celui de a, pas le meme.