Lire le sommet et les variations

Le sommet de la parabole

Dans f(x) = a(x - alpha)^2 + beta, le point S(alpha ; beta) est le sommet de la parabole representant f. La droite verticale d'equation x = alpha est l'axe de symetrie de la courbe.

Sens de variation

Le signe de a determine la forme de la parabole et donc les variations de f :

Signe de a	Forme	Variations	Extremum
a > 0	vers le haut	decroissante puis croissante	minimum beta en alpha
a < 0	vers le bas	croissante puis decroissante	maximum beta en alpha

Pourquoi ca marche

Comme (x - alpha)^2 >= 0 pour tout x, le terme a(x - alpha)^2 a toujours le signe de a (ou vaut 0 si x = alpha). Donc f(x) est toujours superieur ou egal a beta si a > 0, et toujours inferieur ou egal a beta si a < 0.

Exemple

Pour f(x) = 2(x - 2)^2 - 3 (a = 2 > 0) : le sommet est S(2 ; -3), f admet un minimum egal a -3 atteint en x = 2, f est decroissante sur ]-infini ; 2] puis croissante sur [2 ; +infini[.

Piege classique

Attention au signe dans (x - alpha)^2 : si la forme canonique est (x + 3)^2, alors alpha = -3 et non 3, car (x + 3)^2 = (x - (-3))^2.