Construire la forme canonique

Pourquoi une autre ecriture ?

La forme developpee f(x) = ax^2 + bx + c est pratique pour calculer une image, mais elle cache le sommet de la parabole. La forme canonique s'ecrit :

f(x) = a(x - alpha)^2 + beta

avec alpha = -b/(2a) et beta = f(alpha).

Methode de calcul

On part de f(x) = ax^2 + bx + c et on met x^2 + b/a x en carre parfait :

1. On factorise a : f(x) = a(x^2 + b/a x) + c
2. On complete le carre : x^2 + b/a x = (x + b/(2a))^2 - b^2/(4a^2)
3. On simplifie pour obtenir f(x) = a(x - alpha)^2 + beta

Exemple

Soit f(x) = 2x^2 - 8x + 5.

• a = 2, b = -8, c = 5
• alpha = -b/(2a) = 8/4 = 2
• beta = f(2) = 2*4 - 16 + 5 = -3

Donc f(x) = 2(x - 2)^2 - 3.

Piege classique

Ne pas oublier de factoriser par a avant de completer le carre : si a != 1, on doit d'abord sortir a en facteur commun des termes en x^2 et x, sinon le calcul de alpha est faux.