Proprietes algebriques et interpretation geometrique

Les proprietes essentielles

Le produit vectoriel verifie les regles suivantes, pour tous vecteurs u, v, w et tout reel k :

• Antisymetrie : u ^ v = -(v ^ u). Contrairement au produit scalaire, l'ordre compte !
• Bilinearite : (ku) ^ v = k(u ^ v) = u ^ (k*v), et u ^ (v + w) = u ^ v + u ^ w.
• Non associativite : en general, u ^ (v ^ w) != (u ^ v) ^ w.
• u ^ u = 0 (vecteur nul), pour tout vecteur u.
• u ^ v = 0 si et seulement si u et v sont colineaires (y compris si l'un des deux est nul).

Interpretation geometrique : l'aire

La norme ||u ^ v|| est egale a l'aire du parallelogramme construit sur u et v. Si vous voulez l'aire du triangle forme par les points A, B, C, la formule est :

Aire(ABC) = (1/2) * ||AB ^ AC||

Exemple

Soit A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,3,0). On a AB = (2,0,0) et AC = (0,3,0).

AB ^ AC = (00 - 03, 00 - 20, 23 - 00) = (0, 0, 6)

Aire(ABC) = (1/2) * ||(0,0,6)|| = (1/2) * 6 = 3, ce qui correspond bien a l'aire du triangle rectangle de cotes 2 et 3 : (1/2)23 = 3.

Piege classique

Ne confondez pas antisymetrie et anticommutativite avec une erreur de signe : si vous permutez les deux vecteurs dans le calcul en croix, le vecteur obtenu change de sens (il pointe dans la direction opposee), mais garde la meme norme. Pensez aussi a verifier que la base utilisee est bien orthonormee directe : la formule en coordonnees ne s'applique pas telle quelle dans une base quelconque.