Definir le produit vectoriel dans l'espace

Un nouveau produit entre vecteurs

Contrairement au produit scalaire (u . v), qui donne un nombre, le produit vectoriel de deux vecteurs u et v de l'espace, note u ^ v (ou u x v), donne un vecteur. Ce vecteur w = u ^ v possede trois caracteristiques :

• sa direction est perpendiculaire a u et a v (donc au plan qu'ils engendrent) ;
• son sens est donne par la regle de la main droite (ou "du tire-bouchon") : on tourne de u vers v en suivant le plus petit angle, le pouce indique le sens de w ;
• sa norme vaut ||u|| * ||v|| * sin(theta), ou theta est l'angle non oriente entre u et v (0 <= theta <= pi).

Formule avec les coordonnees

Si u = (x1, y1, z1) et v = (x2, y2, z2) dans une base orthonormee directe, alors :

u ^ v = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2)

On retient cet ordre grace au schema "en croix" : on ecrit les coordonnees de u puis de v deux fois de suite, et on croise en decalant d'un cran.

Exemple

Avec u = (1, 0, 0) et v = (0, 1, 0) :

u ^ v = (00 - 01, 00 - 10, 11 - 00) = (0, 0, 1)

On retrouve bien un vecteur unitaire perpendiculaire au plan (u, v), conforme a la regle de la main droite.

Piege classique

Le produit vectoriel n'est defini que dans l'espace a 3 dimensions (ou en dimension 7, cas tres particulier hors programme). Il ne faut jamais confondre u ^ v (un vecteur) avec u . v (un scalaire) : verifiez toujours ce que l'enonce attend comme type de resultat.

Produit	Notation	Resultat	Formule (norme)
Scalaire	u . v	nombre
Vectoriel	u ^ v	vecteur