Calculer avec un determinant et tester la colinearite

Une ecriture pratique avec des determinants

Pour eviter les erreurs de signe, on presente souvent le produit vectoriel a l'aide de mini-determinants 2x2. Si u = (x1, y1, z1) et v = (x2, y2, z2) :

u ^ v = ( |y1 z1; y2 z2| , -|x1 z1; x2 z2| , |x1 y1; x2 y2| )

ou |a b; c d| = ad - bc designe le determinant 2x2. Attention au signe moins devant la deuxieme composante : c'est l'erreur la plus frequente !

Exemple detaille

u = (1, 2, 3) et v = (4, 5, 6).

• Premiere composante : y1z2 - z1y2 = 26 - 35 = 12 - 15 = -3
• Deuxieme composante : -(x1z2 - z1x2) = -(16 - 34) = -(6-12) = 6
• Troisieme composante : x1y2 - y1x2 = 15 - 24 = 5 - 8 = -3

Donc u ^ v = (-3, 6, -3).

Tester la colinearite

Deux vecteurs non nuls u et v sont colineaires si et seulement si u ^ v = (0, 0, 0). C'est souvent plus rapide que de chercher un coefficient de proportionnalite, surtout quand une coordonnee est nulle.

Exemple

u = (2, -1, 3) et v = (-4, 2, -6). On remarque v = -2*u, donc ils sont colineaires : le calcul de u ^ v donnera bien (0,0,0). Vous pouvez le verifier composante par composante pour vous entrainer.

Piege classique

Une erreur frequente consiste a oublier le signe moins de la deuxieme composante, ou a permuter u et v en cours de calcul sans s'en rendre compte, ce qui inverse le signe du resultat final. Prenez l'habitude de verifier votre resultat par un produit scalaire : u . (u ^ v) doit toujours valoir 0.