Applications : aire, volume et moment de force

Le produit mixte et le volume d'un parallelepipede

Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w est le scalaire defini par [u, v, w] = u . (v ^ w). Sa valeur absolue donne le volume du parallelepipede construit sur les trois vecteurs :

Volume = |u . (v ^ w)|

Pour un tetraedre ABCD, le volume vaut V = (1/6) * |AB . (AC ^ AD)|.

Exemple

Soit u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0,0,2). On calcule v ^ w = (12-00, 00-02, 00-10) = (2,0,0). Puis u . (v^w) = 1*2 + 0 + 0 = 2. Le volume du parallelepipede est donc 2 (coherent avec un pave 1x1x2).

Colinearite, coplanarite

Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul : [u, v, w] = 0. C'est un critere tres utilise pour verifier si quatre points appartiennent au meme plan.

Le moment d'une force (application physique)

En mecanique, le moment d'une force F appliquee en un point P par rapport a un point O est M = OP ^ F. Ce vecteur mesure la tendance de la force a faire tourner un solide autour de O ; sa norme vaut ||OP|| * ||F|| * sin(theta), maximale quand la force est perpendiculaire au bras de levier OP.

Piege classique

Ne confondez pas produit mixte (scalaire, mesure un volume signe) et produit vectoriel (vecteur). Le signe du produit mixte indique aussi l'orientation du triedre (u,v,w) : positif si direct, negatif si indirect. Pensez a bien distinguer "volume" (toujours positif, valeur absolue) du produit mixte lui-meme (qui peut etre negatif).

Grandeur	Formule	Nature du resultat
Aire du parallelogramme
Volume du parallelepipede	|u . (v ^ w)|	nombre positif
Produit mixte	u . (v ^ w)	nombre reel (signe)