Reconnaitre des vecteurs orthogonaux

Un critere tres puissant

On a vu que si u et v forment un angle de 90 degres, alors cos(90) = 0, donc u.v = 0. Ce resultat fonctionne aussi dans l'autre sens : c'est ce qu'on appelle le critere d'orthogonalite.

u et v sont orthogonaux <=> u.v = 0

Ce critere est tres pratique car il permet de verifier une perpendicularite avec un simple calcul, sans avoir besoin de mesurer un angle avec un rapporteur.

Exemple avec coordonnees

Soit u(3 ; -2) et v(4 ; 6). On calcule :

u.v = 3*4 + (-2)*6 = 12 - 12 = 0

Comme u.v = 0, les vecteurs u et v sont orthogonaux : si on les trace, les droites qui les portent sont perpendiculaires.

Application : demontrer qu'un triangle est rectangle

Pour montrer qu'un triangle ABC est rectangle en A, il suffit de calculer les coordonnees des vecteurs AB et AC, puis de verifier que AB.AC = 0. Si le produit scalaire est nul, le triangle est rectangle en A ; sinon, il ne l'est pas.

Application : equation d'une droite grace a un vecteur normal

Un vecteur normal n(a ; b) a une droite d est un vecteur orthogonal a tous les vecteurs directeurs de d. Un point M(x ; y) appartient a d (qui passe par un point A) si et seulement si le vecteur AM est orthogonal a n, c'est-a-dire AM.n = 0. Cela donne une equation de la forme :

a*(x - xA) + b*(y - yA) = 0, soit ax + by + c = 0

Piege classique

Attention, u.v = 0 signifie que u et v sont orthogonaux SEULEMENT si u et v sont tous les deux non nuls. Si l'un des deux vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire vaut aussi 0, mais on ne peut alors rien dire sur un angle (le vecteur nul n'a pas de direction).