Calculer des angles et des longueurs

Retrouver un angle grace au produit scalaire

En combinant les deux formules du produit scalaire (avec angle et avec coordonnees), on peut calculer le cosinus d'un angle entre deux vecteurs, meme sans rapporteur :

cos(theta) = u.v / (||u|| * ||v||)

Exemple

Soit u(1 ; 0) et v(1 ; 1). On calcule u.v = 11 + 01 = 1. On calcule les normes : ||u|| = sqrt(1^2 + 0^2) = 1, et ||v|| = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2).

cos(theta) = 1 / (1 * sqrt(2)) = 1/sqrt(2)

On reconnait cette valeur : theta = 45 degres.

Le theoreme d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Dans un triangle ABC, en posant a = BC, b = AC, c = AB, le produit scalaire permet de demontrer la relation suivante, qui generalise le theoreme de Pythagore a tous les triangles :

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

Quand l'angle A vaut 90 degres, cos(A) = 0, et on retrouve exactement le theoreme de Pythagore : a^2 = b^2 + c^2.

Exemple d'application

Dans un triangle ABC, on donne AB = 5, AC = 7, et l'angle A = 60 degres. On calcule BC :

BC^2 = 5^2 + 7^2 - 257cos(60) = 25 + 49 - 700.5 = 74 - 35 = 39

BC = sqrt(39), soit environ 6.24.

Tableau recapitulatif des usages du produit scalaire

Objectif	Formule a utiliser
Verifier une orthogonalite	u.v = 0 ?
Calculer une longueur (norme)
Calculer un angle entre deux vecteurs	cos(theta) = u.v / (
Calculer un cote dans un triangle quelconque	Theoreme d'Al-Kashi

Piege classique

Dans la formule d'Al-Kashi, l'angle utilise doit etre celui compris entre les deux cotes b et c (donc l'angle A, oppose au cote a que l'on cherche). Se tromper de sommet pour l'angle donne un resultat totalement faux.