Calculer le produit scalaire avec des coordonnees

Une formule tres pratique

Dans un repere orthonorme (les deux axes sont perpendiculaires et gradues avec la meme unite), si u a pour coordonnees (x ; y) et v a pour coordonnees (x' ; y'), alors :

u.v = x * x' + y * y'

Cette formule evite d'avoir besoin de connaitre l'angle entre les vecteurs : on ne travaille qu'avec les coordonnees.

Exemple pas a pas

Soit u(2 ; 3) et v(-1 ; 4). On calcule :

u.v = 2 * (-1) + 3 * 4 = -2 + 12 = 10

Retrouver la norme a partir des coordonnees

On a vu que u.u = ||u||^2. Avec les coordonnees, u.u = x^2 + y^2, donc :

||u|| = sqrt(x^2 + y^2)

Exemple : pour u(3 ; 4), ||u|| = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Proprietes utiles du produit scalaire

Propriete	Formule
Symetrie	u.v = v.u
Bilinearite (distributivite)	u.(v + w) = u.v + u.w
Multiplication par un reel k	(k*u).v = k * (u.v)
Identite remarquable	(u + v).(u + v) =

Cette derniere identite ressemble beaucoup a (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 pour les nombres : c'est normal, le produit scalaire se comporte comme une multiplication pour beaucoup de calculs.

Piege classique

La formule u.v = xx' + yy' ne fonctionne que dans un repere ORTHONORME. Dans un repere quelconque (axes non perpendiculaires ou unites differentes), cette formule simple ne s'applique plus : il faut alors revenir a la definition avec angle et normes.