Qu'est-ce que le produit scalaire ?

Une nouvelle operation entre vecteurs

Jusqu'ici, on sait additionner deux vecteurs ou multiplier un vecteur par un nombre. Le produit scalaire est different : il combine deux vecteurs u et v pour donner un simple NOMBRE (pas un vecteur). On le note u.v (parfois u . v).

Definition avec angle et normes

Si u et v sont deux vecteurs non nuls formant un angle theta entre eux, alors :

u.v = ||u|| * ||v|| * cos(theta)

ou ||u|| designe la norme (longueur) du vecteur u, et cos(theta) le cosinus de l'angle geometrique forme par les deux vecteurs (quand on les place a la meme origine).

Cas particuliers a retenir

Situation	Angle theta	Valeur de u.v
u et v de meme sens	0
u et v orthogonaux	90	0
u et v de sens opposes	180	-

Exemple concret

Soit u et v deux vecteurs avec ||u|| = 5, ||v|| = 3, et un angle de 60 degres entre eux. Alors :

u.v = 5 * 3 * cos(60) = 15 * 0.5 = 7.5

Le produit scalaire d'un vecteur par lui-meme

Quand u = v, l'angle theta vaut 0, donc cos(theta) = 1. On obtient :

u.u = ||u||^2

Cette relation est tres utile : elle relie le produit scalaire au carre de la longueur d'un vecteur, et sert de base a beaucoup de calculs de distances.

Piege classique

Ne confonds pas u.v (un nombre) avec u + v (un vecteur) : le produit scalaire ne se represente pas par une fleche. Attention aussi au signe : si l'angle est obtus (entre 90 et 180 degres), cos(theta) est negatif, donc u.v est negatif, meme si les normes sont positives.