Utiliser la derivee : signe et sens de variation

Le lien entre signe de f' et variations de f

C'est l'un des resultats les plus utiles du programme : le signe de la fonction derivee renseigne directement sur le sens de variation de f.

• Si f'(x) >= 0 sur un intervalle I (et f' nulle seulement en des points isoles), alors f est croissante sur I.
• Si f'(x) <= 0 sur un intervalle I, alors f est decroissante sur I.
• Si f'(x) = 0 en un point a et que f' change de signe autour de a, alors f admet un extremum local (maximum ou minimum) en a, et la tangente en ce point est horizontale.

Exemple complet

Soit f(x) = x^2 - 4x + 1, de derivee f'(x) = 2x - 4.

On resout f'(x) = 0 : 2x - 4 = 0, donc x = 2.

x	-infini	2	+infini
signe de f'(x)	negatif	0	positif
variations de f	decroissante	minimum	croissante

f admet donc un minimum en x = 2, qui vaut f(2) = 4 - 8 + 1 = -3.

A retenir pour la pratique

Methode generale pour etudier les variations d'une fonction :

1. Calculer f'(x).
2. Etudier le signe de f'(x) (factoriser, tableau de signes...).
3. En deduire le tableau de variations de f.

Piege classique

f'(a) = 0 ne signifie pas toujours qu'il y a un extremum : si f' ne change pas de signe autour de a (comme pour f(x) = x^3 en x = 0), il s'agit d'un simple point d'inflexion a tangente horizontale, pas d'un maximum ou minimum.