Fonction derivee et exploitation graphique

La fonction derivee et les formules usuelles

De f'(a) a la fonction derivee

Quand f est derivable en tout point a d'un intervalle I, on peut associer a chaque reel x le nombre f'(x). On definit ainsi une nouvelle fonction, la fonction derivee de f, notee f'.

Plutot que de refaire le calcul de limite a chaque fois, on utilise des formules de derivation connues, a apprendre par coeur.

Tableau des derivees usuelles

Fonction f(x)	Derivee f'(x)	Domaine de validite
k (constante)	0	pour tout x
x	1	pour tout x
x^2	2x	pour tout x
x^n (n entier >= 1)	n * x^(n-1)	pour tout x
1/x	-1/x^2	x different de 0
sqrt(x)	1/(2*sqrt(x))	x > 0

Regles de calcul

Pour deux fonctions u et v derivables et un reel k :

(u + v)' = u' + v'
(k * u)' = k * u'
(u * v)' = u' * v + u * v'

Exemple

Soit f(x) = 3x^2 - 5x + 2. En utilisant les regles ci-dessus :

f'(x) = 3 * (2x) - 5 * 1 + 0 = 6x - 5

Ainsi f'(1) = 6 x 1 - 5 = 1, ce qui donne directement le coefficient directeur de la tangente en x = 1 sans repasser par la limite.

Piege classique