Le nombre derive et la tangente

Faire tendre b vers a

Le taux de variation donne une vitesse moyenne entre deux points. Pour obtenir la vitesse instantanee en un point a, on fait tendre b vers a (ou, de maniere equivalente, on pose h = b - a et on fait tendre h vers 0).

Si le taux de variation (f(a+h) - f(a)) / h admet une limite finie quand h tend vers 0, cette limite s'appelle le nombre derive de f en a, note f'(a) :

f'(a) = limite quand h -> 0 de (f(a+h) - f(a)) / h

Exemple detaille

Reprenons f(x) = x^2 et calculons f'(2) :

(f(2+h) - f(2)) / h = ((2+h)^2 - 4) / h = (4 + 4h + h^2 - 4) / h = (4h + h^2) / h = 4 + h

Quand h tend vers 0, l'expression 4 + h tend vers 4. Donc f'(2) = 4.

Interpretation graphique : la tangente

Geometriquement, quand b se rapproche de a, la secante (AB) pivote autour de A et se rapproche d'une position limite : la tangente a la courbe au point A(a ; f(a)). Le nombre derive f'(a) est donc le coefficient directeur de cette tangente.

L'equation de la tangente au point d'abscisse a est :

y = f'(a) (x - a) + f(a)

Pour f(x) = x^2 en a = 2 : f(2) = 4 et f'(2) = 4, donc la tangente a pour equation y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4.

Piege classique

Si la limite du taux de variation n'existe pas (ou est infinie), la fonction n'est pas derivable en a et il n'y a pas de tangente au sens usuel en ce point (c'est le cas par exemple pour sqrt(x) en 0).