La méthode de Gauss-Jordan

La formule du 2 × 2 ne se généralise pas simplement. Au-delà, on calcule l'inverse par un pivot de Gauss mené jusqu'au bout : c'est la méthode de Gauss-Jordan.

Le principe

On écrit côte à côte la matrice A et la matrice identité, puis on applique des opérations élémentaires sur les lignes des deux moitiés à la fois, jusqu'à ce que la partie gauche devienne l'identité :

   [ A | I ]     -----------------> [ I | A⁻¹ ]
                 opérations sur
                 les lignes

Pourquoi cela marche : chaque opération élémentaire revient à multiplier à gauche par une matrice inversible. Si l'enchaînement des opérations transforme A en I, c'est que ce même enchaînement est A⁻¹ — et l'appliquer à I le fait apparaître.

Un exemple complet

Inversons A = [[1, 0, 2], [2, -1, 3], [4, 1, 8]].

[ 1   0   2 | 1  0  0 ]
[ 2  -1   3 | 0  1  0 ]      L2 <- L2 - 2 L1
[ 4   1   8 | 0  0  1 ]      L3 <- L3 - 4 L1

[ 1   0   2 |  1  0  0 ]
[ 0  -1  -1 | -2  1  0 ]     L2 <- -L2
[ 0   1   0 | -4  0  1 ]

[ 1   0   2 |  1  0  0 ]
[ 0   1   1 |  2 -1  0 ]     L3 <- L3 - L2
[ 0   1   0 | -4  0  1 ]

[ 1   0   2 |  1  0  0 ]
[ 0   1   1 |  2 -1  0 ]     L3 <- -L3
[ 0   0  -1 | -6  1  1 ]

La partie gauche est triangulaire ; il reste à remonter pour annuler ce qui est au-dessus des pivots :

[ 1   0   2 |  1  0  0 ]     L1 <- L1 - 2 L3
[ 0   1   1 |  2 -1  0 ]     L2 <- L2 - L3
[ 0   0   1 |  6 -1 -1 ]

[ 1   0   0 | -11   2   2 ]
[ 0   1   0 |  -4   0   1 ]        <-  A⁻¹ est apparue à droite
[ 0   0   1 |   6  -1  -1 ]

La vérification, indispensable : on multiplie A par le résultat et on doit tomber sur l'identité.

[ 1  0  2 ]   [ -11   2   2 ]   [ 1  0  0 ]
[ 2 -1  3 ] × [  -4   0   1 ] = [ 0  1  0 ]   ✔
[ 4  1  8 ]   [   6  -1  -1 ]   [ 0  0  1 ]

Quand la méthode échoue

Si, au cours du pivot, une ligne de la partie gauche devient entièrement nulle, c'est terminé : A n'est pas inversible.

[ 1   2 | 1  0 ]     L2 <- L2 - 2 L1     [ 1   2 |  1  0 ]
[ 2   4 | 0  1 ]                         [ 0   0 | -2  1 ]
                                           ^^^^^
                                 impossible d'obtenir un pivot ici

L'algorithme ne se contente donc pas de calculer l'inverse : il décide aussi de son existence. C'est un avantage sur la formule du 2 × 2, qui suppose déjà connu le déterminant.

Le coût

Gauss-Jordan sur une matrice n × n   ->   de l'ordre de n³ opérations

C'est acceptable, mais c'est environ trois fois le coût d'une simple résolution de système. D'où la règle pratique de la leçon suivante : on n'inverse une matrice que lorsqu'on a réellement besoin de l'inverse lui-même.

En résumé

• Gauss-Jordan : on part de [ A | I ] et on aboutit à [ I | A⁻¹ ].
• Les opérations élémentaires s'appliquent aux deux moitiés simultanément.
• On descend pour échelonner, puis on remonte pour annuler au-dessus des pivots.
• Une ligne gauche entièrement nulle signale une matrice non inversible.
• Toujours vérifier en calculant A × A⁻¹ = I.
• Coût : de l'ordre de n³, soit environ trois résolutions de système.