Résoudre AX = B

Écrire un système sous la forme AX = B

Tout système linéaire s'écrit en une seule ligne avec des matrices. Cette écriture n'est pas qu'une abréviation : elle change la façon de penser le problème.

Du système à l'équation matricielle

Reprenons un système de deux équations :

{ 3x +  y =  9
{ 5x + 2y = 16

On sépare les coefficients, les inconnues et le second membre :

   A          X       B
[ 3  1 ]   [ x ]   [  9 ]
[ 5  2 ] × [ y ] = [ 16 ]

Le système entier devient A X = B. La matrice A s'appelle la matrice du système, X le vecteur des inconnues, B le second membre. Cette forme est valable pour n'importe quelle taille : mille équations à mille inconnues s'écrivent encore A X = B.

Vérifier que le produit redonne bien le système

Ce n'est pas une convention arbitraire : la définition du produit matriciel reconstitue exactement les équations.

[ 3  1 ]   [ x ]   [ 3x + 1y ]   [  9 ]
[ 5  2 ] × [ y ] = [ 5x + 2y ] = [ 16 ]

Ligne par ligne, on retrouve 3x + y = 9 et 5x + 2y = 16.

La lecture par les colonnes

Il existe une seconde lecture, plus riche. Développons le produit autrement :

[ 3  1 ]   [ x ]        [ 3 ]       [ 1 ]
[ 5  2 ] × [ y ]  =  x  [ 5 ]  +  y [ 2 ]

Le produit A X est une combinaison des colonnes de A, avec les inconnues comme coefficients. Résoudre A X = B revient donc à poser la question :

Peut-on fabriquer le vecteur B en combinant les colonnes de A ?

        colonne 1    colonne 2         B
           [3]          [1]           [ 9]
        x  [5]   +   y  [2]     =     [16]

    x = 2, y = 3  ->  2(3;5) + 3(1;2) = (6+3 ; 10+6) = (9 ; 16)   ✔

Cette lecture explique d'un coup les trois cas possibles :

si B est atteignable d'une seule façon → solution unique ;
si B n'est pas atteignable → aucune solution ;
si B est atteignable de plusieurs façons (colonnes redondantes) → infinité.

Les avantages de l'écriture matricielle

Système écrit en toutes lettres      Écriture matricielle
-------------------------------      --------------------
{ 3x + y = 9                          A X = B
{ 5x + 2y = 16
                                     -> on raisonne sur A,
lourd dès 4 inconnues                   pas sur les lettres

Elle permet de parler du système sans les inconnues : les propriétés (nombre de solutions, stabilité numérique, inversibilité) ne dépendent que de A et de B. C'est aussi la forme que consomment toutes les bibliothèques de calcul : en Python, numpy.linalg.solve(A, B) attend exactement ces deux objets.

En résumé