L'inverse d'une matrice

Pour résoudre 3x = 9, on multiplie par l'inverse de 3. Peut-on faire pareil avec A X = B et écrire X = A⁻¹ B ? Oui — mais seulement quand A possède un inverse, ce qui n'est pas toujours le cas.

Définition

Une matrice carrée A est inversible s'il existe une matrice A⁻¹ telle que :

A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I

A⁻¹ s'appelle l'inverse de A. Elle est unique quand elle existe. Une matrice non inversible est dite singulière.

Deux remarques qui évitent des erreurs : l'inverse n'existe que pour les matrices carrées, et il ne faut jamais écrire B/A — la division de matrices n'existe pas, seule la multiplication par l'inverse a un sens, et du bon côté.

Le cas 2 × 2 : une formule à connaître

        [ a  b ]                    1     [  d  -b ]
  A =   [ c  d ]     ->    A⁻¹ = ------- [ -c   a ]
                                 ad - bc

On échange les termes de la diagonale, on change le signe de l'autre, et on divise par ad - bc. Ce nombre est le déterminant de A. Tout se joue sur lui : s'il est nul, la division est impossible et la matrice n'est pas inversible.

Un exemple :

A = [ 3  1 ]     det = 3×2 - 1×5 = 1
    [ 5  2 ]

A⁻¹ = [  2  -1 ]      vérification :  [ 3  1 ] [  2  -1 ]   [ 1  0 ]
      [ -5   3 ]                      [ 5  2 ]×[ -5   3 ] = [ 0  1 ]  ✔

Résoudre un système avec l'inverse

Si A est inversible, le système A X = B a une solution unique :

   A X = B
A⁻¹A X = A⁻¹B
     X = A⁻¹B

Sur l'exemple précédent, avec B = (9 ; 16) :

X = [  2  -1 ] [  9 ]   [ 2×9 - 1×16 ]   [ 2 ]
    [ -5   3 ]×[ 16 ] = [ -5×9 + 3×16 ] = [ 3 ]

donc x = 2 et y = 3.

Attention au côté. Le produit n'étant pas commutatif, on multiplie à gauche des deux côtés : de A X = B on tire X = A⁻¹B, et surtout pas B A⁻¹ — qui, en plus d'être faux, n'a même pas les bonnes dimensions.

Ce que l'inverse fait des opérations

(A⁻¹)⁻¹ = A                        inverser deux fois ne change rien
(AB)⁻¹  = B⁻¹ A⁻¹                  l'ordre est RENVERSÉ
(tA)⁻¹  = t(A⁻¹)

La deuxième règle se comprend par les transformations : si l'on enfile ses chaussettes puis ses chaussures, il faut retirer les chaussures avant les chaussettes. Défaire une composition, c'est défaire chaque étape dans l'ordre inverse.

Une matrice qui n'a pas d'inverse

A = [ 1  2 ]     det = 1×4 - 2×2 = 0
    [ 2  4 ]     (la 2e colonne est le double de la 1re : information redondante)

Aucune matrice ne peut inverser A : l'application associée écrase le plan sur une droite, et cet écrasement est irréversible.

En résumé

• A est inversible si A A⁻¹ = A⁻¹ A = I ; l'inverse est alors unique.
• Seules les matrices carrées peuvent être inversibles ; la division de matrices n'existe pas.
• En 2 × 2 : diagonale échangée, autres termes changés de signe, le tout divisé par ad - bc.
• det(A) = 0 → matrice singulière, non inversible.
• Si A est inversible, A X = B a la solution unique X = A⁻¹B, en multipliant à gauche.
• (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ : l'inverse d'un produit renverse l'ordre.