Calculer un inverse et l'utiliser

Inversible : toutes les façons de le dire

Le mot « inversible » se dit de dix façons différentes. Toutes désignent la même chose — et savoir passer de l'une à l'autre est ce qui rend l'algèbre linéaire efficace.

Le théorème d'équivalence

Pour une matrice carrée A de taille n × n, les assertions suivantes sont toutes équivalentes :

1.  A est inversible
2.  det(A) ≠ 0
3.  rang(A) = n
4.  les colonnes de A sont libres
5.  les colonnes de A forment une base de R^n
6.  A X = 0 n'a que la solution nulle
7.  A X = B a une solution unique, pour tout B
8.  le pivot de Gauss donne n pivots (aucune ligne nulle)
9.  0 n'est pas valeur propre de A
10. l'application linéaire associée est bijective

Chacune se vérifie par un calcul différent, mais elles tombent ou tiennent ensemble. En pratique, on choisit la plus rapide à tester dans la situation donnée :

petite matrice (2×2, 3×3)   ->  le déterminant
matrice quelconque          ->  le pivot : compter les pivots
colonnes visiblement liées  ->  conclure immédiatement (non inversible)
matrice déjà diagonalisée   ->  regarder si 0 est valeur propre

Le fil géométrique

Toutes ces formulations décrivent le même phénomène, vu sous des angles différents :

              A NON inversible
                     |
    ______________________________________
   |            |             |            |
 det = 0     rang < n     colonnes      noyau
   |            |          liées       non réduit à 0
   |            |             |            |
    \__________ l'espace est ÉCRASÉ ______/
                     |
          et un écrasement ne se défait pas

À l'inverse, une matrice inversible préserve la dimension : rien n'est perdu, tout est atteint, la transformation est réversible.

Un cas particulier utile : les matrices triangulaires

[ 2   7  -1 ]
[ 0   3   5 ]      inversible  <=>  aucun coefficient diagonal nul
[ 0   0   4 ]

Le déterminant étant le produit de la diagonale, la réponse se lit sans le moindre calcul. C'est très utile, car le pivot produit précisément des matrices triangulaires.

En pratique : ne pas calculer l'inverse

Voici un point que les cours théoriques passent souvent sous silence. Pour résoudre A X = B numériquement, on ne calcule presque jamais A⁻¹ :

Calculer A⁻¹ puis A⁻¹B   ->  environ 3 fois plus d'opérations,
                             et amplifie les erreurs d'arrondi
Faire un pivot de Gauss  ->  moins d'opérations, plus stable

L'inverse reste un outil théorique essentiel — il donne la formule X = A⁻¹B, il caractérise les systèmes bien posés, il intervient dans les démonstrations. Mais l'algorithme de résolution reste le pivot. C'est ce que fait numpy.linalg.solve(A, B), systématiquement préférable à inv(A) @ B.

Il faut d'ailleurs se méfier du cas limite : une matrice peut être inversible en théorie et catastrophique en pratique, si son déterminant est minuscule. On parle alors de matrice mal conditionnée : une variation infime de B change complètement la solution. Le déterminant dit si l'on est inversible ; il ne dit pas si l'on est loin de ne pas l'être.

En résumé