Proprietes de l'integrale et linearite

Linearite de l'integrale

Pour toutes fonctions f et g continues sur [a;b], et tout reel k :

integrale de a a b de (f+g)(x) dx = integrale de a a b de f(x) dx + integrale de a a b de g(x) dx

integrale de a a b de k*f(x) dx = k * integrale de a a b de f(x) dx

Exemple : integrale de 0 a 1 de (3x^2 + 2) dx = 3 * integrale de 0 a 1 de x^2 dx + 2 * integrale de 0 a 1 de 1 dx = 3*(1/3) + 2*1 = 1 + 2 = 3.

Relation de Chasles

Pour tout reel c :

integrale de a a b de f(x) dx = integrale de a a c de f(x) dx + integrale de c a b de f(x) dx

Cette relation permet de decouper le calcul d'une integrale, en particulier quand f change de signe sur l'intervalle d'etude.

Integrale et ordre

Si f <= g sur [a;b], alors integrale de a a b de f(x) dx <= integrale de a a b de g(x) dx. En particulier, si f >= 0 sur [a;b], alors integrale de a a b de f(x) dx >= 0.

Piege classique

La relation de Chasles reste valable meme si c n'est pas entre a et b, mais attention a l'ordre des bornes : integrale de a a b de f(x) dx = - integrale de b a a de f(x) dx. Inverser les bornes change le signe du resultat.