Notion de primitive

Qu'est-ce qu'une primitive ?

Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F derivable sur I telle que F'(x) = f(x) pour tout x de I. Trouver une primitive revient donc a faire l'operation inverse de la derivation.

Exemple : si f(x) = 2x, alors F(x) = x^2 est une primitive de f, car F'(x) = 2x = f(x).

Une infinite de primitives

Si F est une primitive de f, alors toute fonction de la forme F(x) + k, avec k une constante reelle, est aussi une primitive de f : en effet, la derivee d'une constante est nulle. On dit que les primitives de f forment une famille F(x) + k, k appartenant a R.

Primitives usuelles

Fonction f(x)	Primitive F(x)
x^n (n different de -1)	x^(n+1)/(n+1) + k
1/x (x>0)	ln(x) + k
e^x	e^x + k
cos(x)	sin(x) + k
sin(x)	-cos(x) + k

Determiner la constante

Pour trouver LA primitive qui verifie une condition precise, on utilise une valeur donnee. Exemple : trouver la primitive F de f(x) = 2x telle que F(0) = 3. On a F(x) = x^2 + k, donc F(0) = 0 + k = 3, d'ou k = 3 et F(x) = x^2 + 3.

Piege classique

Ne jamais oublier la constante k lors de la recherche generale d'une primitive. Ecrire seulement F(x) = x^2 comme reponse a la question "quelles sont les primitives de 2x ?" est incomplet : il faut ecrire F(x) = x^2 + k, k appartenant a R.