Integrale definie et calcul d'aires

Definition de l'integrale definie

Si f est continue et positive sur [a;b], l'integrale de a a b de f(x) dx represente l'aire, exprimee en unites d'aire, du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses, et les droites verticales x=a et x=b. On la note : integrale de a a b de f(x) dx.

Calcul a l'aide d'une primitive

Theoreme fondamental de l'analyse : si F est une primitive de f sur [a;b], alors

integrale de a a b de f(x) dx = F(b) - F(a)

Exemple : calculer integrale de 0 a 2 de x^2 dx. Une primitive de x^2 est F(x) = x^3/3. Donc l'integrale vaut F(2) - F(0) = 8/3 - 0 = 8/3 unites d'aire.

Signe de l'integrale

Si f est negative sur [a;b], l'integrale est negative : elle represente alors l'oppose de l'aire geometrique.

Exemple : integrale de -1 a 0 de x dx = [x^2/2] de -1 a 0 = 0 - 1/2 = -1/2.

Piege classique

Ne pas confondre integrale et aire quand f change de signe sur l'intervalle. Si f est negative sur une partie de [a;b], il faut decouper l'intervalle aux points ou f s'annule, calculer chaque morceau, puis prendre la valeur absolue des parties negatives pour obtenir l'aire geometrique totale.