Applications : aire entre deux courbes et valeur moyenne

Aire entre deux courbes

Si f et g sont continues sur [a;b] et si f(x) >= g(x) pour tout x de [a;b], l'aire du domaine compris entre les deux courbes vaut :

A = integrale de a a b de (f(x) - g(x)) dx (en unites d'aire)

Exemple : f(x) = 6-x et g(x) = x^2. On resout f(x) = g(x) : 6-x = x^2, soit x^2+x-6 = 0, qui se factorise en (x-2)(x+3) = 0, donc x = 2 ou x = -3. Sur [-3;2], f(x) >= g(x). L'aire vaut integrale de -3 a 2 de (6-x-x^2) dx.

Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de f sur [a;b] est definie par :

m = (1/(b-a)) * integrale de a a b de f(x) dx

Exemple : valeur moyenne de f(x) = x^2 sur [0;3] : m = (1/3) * integrale de 0 a 3 de x^2 dx = (1/3) * (27/3) = (1/3) * 9 = 3.

Piege classique

Pour calculer une aire entre deux courbes, il faut toujours verifier le signe de f(x) - g(x) sur tout l'intervalle etudie. Si les courbes se croisent plusieurs fois entre a et b, il faut decouper l'intervalle a chaque point d'intersection avant d'integrer, sinon les aires positives et negatives se compensent a tort.