Le théorème de la moyenne

On a vu que la valeur moyenne μ est une hauteur comprise entre le minimum et le maximum de f. Le théorème de la moyenne affirme quelque chose de plus fort : pour une fonction continue, cette hauteur moyenne est réellement atteinte par la fonction en au moins un point.

   Si f est continue sur [a ; b], alors il existe c dans [a ; b] tel que :
        f(c) = μ = 1/(b − a) · ∫ de a à b f(x) dx

Géométriquement : il existe (au moins) une abscisse c où la courbe passe exactement à la hauteur du rectangle moyen.

   f(x)
    |      __--‾‾--__
    |    _/     •c    \_       <- en c, la courbe touche la hauteur μ
    |μ__/______________\__
    |
    +--+------+--------+--> x
       a      c        b

La démonstration s'appuie sur le théorème des valeurs intermédiaires : puisque μ est coincée entre min(f) et max(f), et que f continue prend toutes les valeurs intermédiaires, elle doit passer par μ quelque part.

Pourquoi la continuité est-elle indispensable ? Sans elle, une fonction pourrait « sauter » par-dessus la valeur μ sans jamais l'atteindre. Le théorème échoue alors.

   f continue  ->  la moyenne est atteinte (∃ c, f(c) = μ)
   f discontinue -> la moyenne peut n'etre jamais atteinte

Ce théorème est le pendant intégral du théorème des accroissements finis pour les dérivées. Il assure que la moyenne n'est pas qu'un artefact de calcul : c'est une valeur effectivement prise par la fonction. Retiens l'énoncé et son ingrédient clé — la continuité.