L'interprétation géométrique

La valeur moyenne a une lecture géométrique très parlante, qui aide à ne jamais oublier la formule. Elle répond à la question : quelle hauteur de rectangle aurait la même aire que la région sous la courbe ?

Reprenons μ = 1/(b−a) · ∫ f. En multipliant les deux côtés par (b − a) :

   μ · (b − a)  =  ∫ (de a à b) f(x) dx
   (hauteur × largeur)      (aire sous la courbe)

Autrement dit, μ est la hauteur du rectangle de base [a ; b] dont l'aire égale exactement l'aire sous la courbe.

   f(x)
    |      __--‾‾--__
    |    _/          \_        <- aire sous la courbe
    |___/______________\___
    | . . . . . . . . . . .    <- rectangle de hauteur μ,
    |μ|                   |        MEME aire
    +--+---------------+--+--> x
       a               b

On « aplatit » la courbe en un rectangle de même aire : sa hauteur est la valeur moyenne. Cette image explique pourquoi μ se situe toujours entre le minimum et le maximum de f sur l'intervalle : le rectangle ne peut être ni plus bas que le point le plus bas de la courbe, ni plus haut que le plus haut.

   min(f)  ≤  μ  ≤  max(f)        (toujours)

Cette interprétation transforme une formule abstraite en une image concrète : la valeur moyenne, c'est la hauteur qui égalise l'aire. Elle prépare le théorème de la moyenne, qui affirme que cette hauteur est bel et bien atteinte par la fonction.